Упр.696 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите косинус угла между векторами: а) AA1 и AC1; б) BD1 и DB1; в) DB и AC1.

Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы

$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a).$$

Тогда

$$C_1(a,a,a),\quad B_1(a,0,a),\quad D_1(0,a,a).$$

Используем формулу косинуса угла между векторами:

$$\cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}.$$

а) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(a,a,a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{AC_1}=0\cdot a+0\cdot a+a\cdot a=a^2,$$

$$|\overrightarrow{AA_1}|=a,\qquad |\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\cos(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC_1})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$

б) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{BD_1}=D_1-B=(-a,a,a),\qquad \overrightarrow{DB_1}=B_1-D=(a,-a,a).$$

Скалярное произведение равно

$$\overrightarrow{BD_1}\cdot \overrightarrow{DB_1}=(-a)\cdot a+a\cdot(-a)+a\cdot a=-a^2.$$

Длины векторов:

$$|\overrightarrow{BD_1}|=|\overrightarrow{DB_1}|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3.$$

Тогда

$$\cos(\overrightarrow{BD_1},\overrightarrow{DB_1})=\frac{-a^2}{a\sqrt3\cdot a\sqrt3}=-\frac13.$$

в) Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{DB}=B-D=(a,-a,0),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(a,a,a).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{AC_1}=a\cdot a+(-a)\cdot a+0\cdot a=0.$$

Значит, векторы перпендикулярны, и

$$\cos(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{AC_1})=0.$$

Ответ

$$\frac1{\sqrt3};\ -\frac13;\ 0.$$