Упр.696 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Вычислите косинус угла между векторами: а) $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{AC_1}$$; б) $$\overrightarrow{BD_1}$$ и $$\overrightarrow{DB_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{AC_1}$$.
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a),\quad C_1(a,a,a),\quad B_1(a,0,a),\quad D_1(0,a,a).$$
Тогда косинус угла между векторами найдём по формуле
$$\cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u\cdot \vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}.$$
Найдём нужные векторы и их длины:
$$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,a),\qquad |\overrightarrow{AA_1}|=a,$$
$$\overrightarrow{AC_1}=(a,a,a),\qquad |\overrightarrow{AC_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,a),\qquad |\overrightarrow{BD_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{DB_1}=(a,-a,a),\qquad |\overrightarrow{DB_1}|=a\sqrt3,$$
$$\overrightarrow{DB}=(a,-a,0),\qquad |\overrightarrow{DB}|=a\sqrt2.$$
Теперь вычислим скалярные произведения.
а)
$$\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{AC_1}=0\cdot a+0\cdot a+a\cdot a=a^2,$$
$$\cos(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{AC_1})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}.$$
б)
$$\overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{DB_1}=(-a)\cdot a+a\cdot(-a)+a\cdot a=-a^2,$$
$$\cos(\overrightarrow{BD_1},\overrightarrow{DB_1})=\frac{-a^2}{a\sqrt3\cdot a\sqrt3}=-\frac13.$$
в)
$$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{AC_1}=a\cdot a+(-a)\cdot a+0\cdot a=0,$$
$$\cos(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{AC_1})=\frac{0}{a\sqrt2\cdot a\sqrt3}=0.$$
Ответ: а) $$\frac1{\sqrt3}$$; б) $$-\frac13$$; в) $$0$$.
