Упр.695 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A (1; -1; 3), B (3; -1; 1) и C (-1; 1; 3).

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками:

$$ \overrightarrow{AB}=(3-1;\,-1-(-1);\;1-3)=(2;\,0;\,-2), $$
$$ AB=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. $$

$$ \overrightarrow{BC}=(-1-3;\,1-(-1);\;3-1)=(-4;\,2;\,2), $$
$$ BC=\sqrt{(-4)^2+2^2+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}. $$

$$ \overrightarrow{CA}=(1-(-1);\,-1-1;\,3-3)=(2;\,-2;\,0), $$
$$ CA=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. $$

Тогда периметр треугольника:

$$ P=AB+BC+CA=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{6}. $$

Найдём площадь по формуле Герона. Полупериметр:

$$ p=\frac{P}{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}. $$

Тогда

$$ S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}. $$

Подставим значения:

$$ S=\sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(\sqrt{6})(\sqrt{6})(2\sqrt{2}-\sqrt{6})}. $$

Так как

$$ (2\sqrt{2}+\sqrt{6})(2\sqrt{2}-\sqrt{6})=8-6=2, $$
то

$$ S=\sqrt{2\cdot 6}=2\sqrt{3}. $$

Теперь найдём углы треугольника. Угол при вершине $C$ найдём по скалярному произведению векторов $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$:

$$ \overrightarrow{CB}=(3-(-1);\,-1-1;\,1-3)=(4;\,-2;\,-2). $$

$$ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot 4+(-2)\cdot(-2)+0\cdot(-2)=12. $$

$$ |\overrightarrow{CA}|=2\sqrt{2},\qquad |\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{6}. $$

Следовательно,

$$ \cos \angle ACB=\frac{12}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Значит,

$$ \angle ACB=30^\circ. $$

Аналогично для угла при вершине $A$:

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot 2+0\cdot(-2)+(-2)\cdot 0=4, $$
$$ |\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{2},\qquad |\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}. $$

Тогда

$$ \cos \angle BAC=\frac{4}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, $$
откуда

$$ \angle BAC=60^\circ. $$

Третий угол:

$$ \angle ABC=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ. $$