Упр.695 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки $$A(1;\,-1;\,3)$$, $$B(3;\,-1;\,1)$$ и $$C(-1;\,1;\,3)$$.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$\overrightarrow{AB}=(3-1,\,-1-(-1),\,1-3)=(2,0,-2),$$
$$AB=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$
$$\overrightarrow{BC}=(-1-3,\,1-(-1),\,3-1)=(-4,2,2),$$
$$BC=\sqrt{(-4)^2+2^2+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.$$
$$\overrightarrow{CA}=(1-(-1),\,-1-1,\,3-3)=(2,-2,0),$$
$$CA=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Тогда периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+CA=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}+2\sqrt{6}.$$

Найдём площадь по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{P_{ABC}}{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}$$
$$=\sqrt{(2\sqrt{2}+\sqrt{6})\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}\cdot (2\sqrt{2}-\sqrt{6})}.$$

$$(2\sqrt{2}+\sqrt{6})(2\sqrt{2}-\sqrt{6})=8-6=2,$$
поэтому
$$S_{ABC}=\sqrt{2\cdot 6}=2\sqrt{3}.$$

Теперь найдём углы треугольника. Используем формулу

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

Угол при вершине $$C$$:

$$\overrightarrow{CA}=(2,-2,0),\qquad \overrightarrow{CB}=(4,-2,-2),$$
$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=2\cdot 4+(-2)\cdot(-2)+0\cdot(-2)=12.$$
$$\cos \angle ACB=\frac{12}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}}=\frac{12}{4\sqrt{12}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$\angle ACB=30^\circ.$$

Угол при вершине $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2,0,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,2,0),$$
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\cdot(-2)+0\cdot 2+(-2)\cdot 0=-4.$$
$$\cos \angle BAC=\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-4}{8}=-\frac12.$$
Значит,
$$\angle BAC=120^\circ.$$

Тогда третий угол:

$$\angle ABC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ.$$

Итак, треугольник имеет углы $$120^\circ$$, $$30^\circ$$ и $$30^\circ$$, периметр $$4\sqrt{2}+2\sqrt{6}$$, площадь $$2\sqrt{3}$$.