Упр.694 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны точки $$A(1; 3; 0)$$, $$B(2; 3; -1)$$ и $$C(1; 2; -1)$$. Вычислите угол между векторами $$\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{CA}=(1-1;\,3-2;\,0-(-1))=(0;\,1;\,1)$$

$$\overrightarrow{CB}=(2-1;\,3-2;\,-1-(-1))=(1;\,1;\,0)$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=1$$

Найдём длины векторов:

$$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

$$|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$$

Тогда

$$\cos \angle ACB=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot|\overrightarrow{CB}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$\angle ACB=60^\circ$$

Ответ: $$60^\circ$$