Упр.693 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами.

Найдём углы между вектором $$\vec a=(2;1;2)$$ и координатными векторами $$\vec i=(1;0;0),\ \vec j=(0;1;0),\ \vec k=(0;0;1).$$

Используем формулу:

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

Сначала найдём длину вектора $$\vec a$$:

$$|\vec a|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$

1) Угол между $$\vec a$$ и $$\vec i$$:

$$\cos \angle(\vec a,\vec i)=\frac{2\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 0}{3\cdot 1}=\frac{2}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec i)=\arccos\frac{2}{3}\approx 48^\circ11′.$$

2) Угол между $$\vec a$$ и $$\vec j$$:

$$\cos \angle(\vec a,\vec j)=\frac{2\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0}{3\cdot 1}=\frac{1}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec j)=\arccos\frac{1}{3}\approx 70^\circ32′.$$

3) Угол между $$\vec a$$ и $$\vec k$$:

$$\cos \angle(\vec a,\vec k)=\frac{2\cdot 0+1\cdot 0+2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec k)=\arccos\frac{2}{3}\approx 48^\circ11′.$$

Ответ

$$\angle(\vec a,\vec i)=\arccos\frac{2}{3},\quad \angle(\vec a,\vec j)=\arccos\frac{1}{3},\quad \angle(\vec a,\vec k)=\arccos\frac{2}{3}.$$