Упр.693 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите углы между вектором $$\vec{a}=\{2;1;2\}$$ и координатными векторами.

Найдём углы между вектором $$\vec a=(2;1;2)$$ и координатными векторами $$\vec i=(1;0;0),\ \vec j=(0;1;0),\ \vec k=(0;0;1).$$

Используем формулу

$$\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

Сначала найдём длину вектора $$\vec a$$:

$$|\vec a|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$

Так как $$|\vec i|=|\vec j|=|\vec k|=1,$$ получаем:

$$\cos(\vec a,\vec i)=\frac{2\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 0}{3\cdot 1}=\frac{2}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec i)=\arccos\frac{2}{3}\approx 48^\circ11′.$$

Далее:

$$\cos(\vec a,\vec j)=\frac{2\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 0}{3\cdot 1}=\frac{1}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec j)=\arccos\frac{1}{3}\approx 70^\circ32′.$$

И наконец:

$$\cos(\vec a,\vec k)=\frac{2\cdot 0+1\cdot 0+2\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{2}{3},$$

значит

$$\angle(\vec a,\vec k)=\arccos\frac{2}{3}\approx 48^\circ11′.$$

Ответ: $$\angle(\vec a,\vec i)=\arccos\frac{2}{3},\ \angle(\vec a,\vec j)=\arccos\frac{1}{3},\ \angle(\vec a,\vec k)=\arccos\frac{2}{3}.$$