Упр.692 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите угол между векторами: а) $$a\{2;-2;0\}$$ и $$b\{3;0;-3\}$$; б) $$a\{\sqrt{2};\sqrt{2};2\}$$ и $$b\{-3;-3;0\}$$; в) $$a\{0;5;0\}$$ и $$b\{0;-\sqrt{3};1\}$$; г) $$a\{-2{,}5;2{,}5;0\}$$ и $$b\{-5;5;5^2\}$$; д) $$d\{-\sqrt{2};-\sqrt{2};-2\}$$ и H&j^;^;-lj.

Используем формулу для угла между векторами:

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|},$$

где

$$\vec a\cdot \vec b=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b.$$

1. $$\vec a=(2,-2,0),\quad \vec b=(3,0,-3).$$

   $$\vec a\cdot \vec b=2\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot (-3)=6,$$

   $$|\vec a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8},\qquad |\vec b|=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}.$$

   $$\cos \varphi=\frac{6}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{18}}=\frac{6}{12}=\frac12,$$

   значит, $$\varphi=60^\circ.$$

2. $$\vec a=(\sqrt2,\sqrt2,2),\quad \vec b=(-3,-3,0).$$

   $$\vec a\cdot \vec b=\sqrt2\cdot (-3)+\sqrt2\cdot (-3)+2\cdot 0=-6\sqrt2,$$

   $$|\vec a|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2+2^2}=\sqrt8,\qquad |\vec b|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}.$$

   $$\cos \varphi=\frac{-6\sqrt2}{\sqrt8\cdot \sqrt{18}}=\frac{-6\sqrt2}{12}=-\frac{\sqrt2}{2},$$

   значит, $$\varphi=135^\circ.$$

3. $$\vec a=(0,5,0),\quad \vec b=(0,-\sqrt3,1).$$

   $$\vec a\cdot \vec b=0\cdot 0+5\cdot (-\sqrt3)+0\cdot 1=-5\sqrt3,$$

   $$|\vec a|=\sqrt{0^2+5^2+0^2}=5,\qquad |\vec b|=\sqrt{0^2+(-\sqrt3)^2+1^2}=2.$$

   $$\cos \varphi=\frac{-5\sqrt3}{5\cdot 2}=-\frac{\sqrt3}{2},$$

   значит, $$\varphi=150^\circ.$$

4. $$\vec a=(-2{,}5,\,2{,}5,\,0),\quad \vec b=(-5,\,5,\,5\sqrt2).$$

   $$\vec a\cdot \vec b=(-2{,}5)\cdot (-5)+2{,}5\cdot 5+0\cdot 5\sqrt2=25,$$

   $$|\vec a|=\sqrt{(-2{,}5)^2+(2{,}5)^2+0^2}=\sqrt{12{,}5},$$

   $$|\vec b|=\sqrt{(-5)^2+5^2+(5\sqrt2)^2}=\sqrt{100}=10.$$

   $$\cos \varphi=\frac{25}{\sqrt{12{,}5}\cdot 10}=\frac{\sqrt2}{2},$$

   значит, $$\varphi=45^\circ.$$

5. $$\vec a=(-\sqrt2,-\sqrt2,-2),\quad \vec b=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},-1\right).$$

   $$\vec a\cdot \vec b=-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}+(-2)\cdot (-1)=-1-1+2=0,$$

   следовательно, $$\cos \varphi=0,$$ значит, $$\varphi=90^\circ.$$

Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$150^\circ$$; г) $$45^\circ$$; д) $$90^\circ$$.