Упр.691 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(0; 1; 2)$$, $$B(\sqrt{2}; 1; 2)$$, $$C(\sqrt{2}; 2; 1)$$ и $$D(0; 2; 1)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — квадрат.

Найдём координаты векторов сторон четырёхугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(\sqrt2-0;\,1-1;\,2-2)=(\sqrt2;\,0;\,0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(\sqrt2-\sqrt2;\,2-1;\,1-2)=(0;\,1;\,-1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(0-\sqrt2;\,2-2;\,1-1)=(-\sqrt2;\,0;\,0),$$
$$\overrightarrow{AD}=(0-0;\,2-1;\,1-2)=(0;\,1;\,-1).$$

Из полученных координат видно, что $$\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{BC}\parallel \overrightarrow{AD}$$. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Проверим, что один из его углов прямой:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\sqrt2\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot(-1)=0.$$

Следовательно, $$AB\perp AD$$, то есть параллелограмм является прямоугольником.

Теперь найдём длины соседних сторон:

$$|AB|=\sqrt{(\sqrt2)^2+0^2+0^2}=\sqrt2,$$
$$|AD|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

У параллелограмма равны соседние стороны, значит, это ромб. Так как он одновременно является прямоугольником, то $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.