Упр.691 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки A (0; 1; 2), B (^2; 1; 2), C (yf2; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.

Подробный ответ

Найдём векторы сторон четырёхугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(\sqrt2-0;\,1-1;\,2-2)=(\sqrt2;\,0;\,0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(\sqrt2-\sqrt2;\,2-1;\,1-2)=(0;\,1;\,-1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(0-\sqrt2;\,2-2;\,1-1)=(-\sqrt2;\,0;\,0),$$
$$\overrightarrow{AD}=(0-0;\,2-1;\,1-2)=(0;\,1;\,-1).$$

Видим, что $$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{AD}$$. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Проверим, что его смежные стороны перпендикулярны:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(\sqrt2,0,0)\cdot(0,1,-1)=\sqrt2\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot(-1)=0.$$

Следовательно, $$\angle BAD=90^\circ$$, то есть параллелограмм является прямоугольником.

Теперь найдём длины соседних сторон:

$$|AB|=\sqrt{(\sqrt2)^2+0^2+0^2}=\sqrt2,$$
$$|AD|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

У прямоугольника равны соседние стороны, значит, это квадрат.