Упр.690 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны векторы $$\vec{a}=m\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}$$ и $$\vec{b}=4\vec{i}+m\vec{j}-7\vec{k}$$. При каком значении $$m$$ векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ перпендикулярны?

Пусть $$\vec a=(m,\,3,\,4)$$ и $$\vec b=(4,\,m,\,-7).$$

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec a\cdot \vec b=0.$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\vec a\cdot \vec b=m\cdot 4+3\cdot m+4\cdot(-7)=4m+3m-28=7m-28.$$

Тогда

$$7m-28=0,$$

откуда

$$7m=28,\qquad m=4.$$

Ответ: $$4$$.