Упр.69 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ тетраэдра $$SABC$$ проведена плоскость, параллельная ребру $$SB$$. Докажите, что эта плоскость пересекает грани $$SAB$$ и $$SBC$$ по параллельным прямым.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Пусть плоскость, проходящая через точки $$M$$ и $$N$$, пересекает ребро $$SB$$ в точке $$P$$.

Рассмотрим грань $$SBC$$. В этой плоскости лежит прямая $$SB$$, а плоскость $$MNP$$ по условию параллельна ребру $$SB$$. Значит, линия пересечения плоскостей $$MNP$$ и $$SBC$$ проходит через точку $$N$$ и параллельна $$SB$$. Обозначим эту линию через $$NQ$$. Тогда

$$NQ \parallel SB.$$

Аналогично рассмотрим грань $$SAB$$. Плоскость $$MNP$$ пересекает её по прямой $$MP$$, и так как $$MNP \parallel SB$$, то

$$MP \parallel SB.$$

Следовательно, обе линии пересечения плоскости $$MNP$$ с гранями $$SAB$$ и $$SBC$$ параллельны одной и той же прямой $$SB$$. Поэтому они параллельны между собой:

$$MP \parallel NQ.$$

Что и требовалось доказать.