Упр.689 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

$$\vec a\cdot \vec b=x_a x_b+y_a y_b+z_a z_b.$$

Для данных векторов $$\vec a=(-1;2;3),\quad \vec b=(5;x;-1)$$ получаем

$$\vec a\cdot \vec b=(-1)\cdot 5+2\cdot x+3\cdot(-1)=2x-8.$$

Теперь найдём значение $$x$$ для каждого случая.

1. Если $$\vec a\cdot \vec b=3,$$ то

$$2x-8=3,$$

$$2x=11,$$

$$x=5{,}5.$$

2. Если угол между векторами больше $$90^\circ,$$ то их скалярное произведение отрицательно:

$$\vec a\cdot \vec b<0.$$

Значит,

$$2x-8<0,$$

$$2x<8,$$

$$x<4.$$

Если требуется значение из решения, при котором скалярное произведение равно $$-1,$$ то

$$2x-8=-1,$$

$$2x=7,$$

$$x=3{,}5.$$

3. Если $$\vec a\perp \vec b,$$ то

$$\vec a\cdot \vec b=0,$$

откуда

$$2x-8=0,$$

$$2x=8,$$

$$x=4.$$

Ответ: а) $$x=5{,}5$$; б) $$x<4$$; в) $$x=4$$.