Упр.688 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан вектор $$\vec{a}=(3;-5;0)$$. Докажите, что: а) $$\angle(\vec{a},\vec{i})<90^\circ$$; б) $$\angle(\vec{a},\vec{j})>90^\circ$$; в) $$\angle(\vec{a},\vec{k})=90^\circ$$.

Подробный ответ

Скалярное произведение векторов связано с косинусом угла между ними формулой

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$

Если $$\vec a\cdot \vec b>0,$$ то $$\cos\varphi>0,$$ значит, угол острый; если $$\vec a\cdot \vec b<0,$$ то $$\cos\varphi<0,$$ значит, угол тупой; если $$\vec a\cdot \vec b=0,$$ то $$\cos\varphi=0,$$ значит, угол прямой.

Найдём скалярные произведения вектора $$\vec a=(3;\,-5;\,0)$$ с единичными векторами $$\vec i=(1;\,0;\,0),\ \vec j=(0;\,1;\,0),\ \vec k=(0;\,0;\,1).$$

$$\vec a\cdot \vec i=3\cdot 1+(-5)\cdot 0+0\cdot 0=3>0,$$
значит, $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ.$$

$$\vec a\cdot \vec j=3\cdot 0+(-5)\cdot 1+0\cdot 0=-5<0,$$
значит, $$\angle(\vec a,\vec j)>90^\circ.$$

$$\vec a\cdot \vec k=3\cdot 0+(-5)\cdot 0+0\cdot 1=0,$$
значит, $$\angle(\vec a,\vec k)=90^\circ.$$

Ответ: $$\angle(\vec a,\vec i)<90^\circ,\ \angle(\vec a,\vec j)>90^\circ,\ \angle(\vec a,\vec k)=90^\circ.$$