Упр.687 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны векторы а {3; -1; 1}, b {-5; 1; 0} и с (-1; -2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и b; б) b и с; в) а и с.

Скалярное произведение векторов $$\vec a(x_1;y_1;z_1)$$ и $$\vec b(x_2;y_2;z_2)$$ равно

$$\vec a\cdot \vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$

Знак скалярного произведения определяет вид угла между векторами:

• если $$\vec a\cdot \vec b>0,$$ то угол острый;
• если $$\vec a\cdot \vec b=0,$$ то угол прямой;
• если $$\vec a\cdot \vec b<0,$$ то угол тупой.

Найдём скалярные произведения.

а) $$\vec a\cdot \vec b=3\cdot(-5)+(-1)\cdot 1+1\cdot 0=-15-1=-16<0,$$ значит, угол между $$\vec a$$ и $$\vec b$$ тупой.

б) $$\vec b\cdot \vec c=(-5)\cdot(-1)+1\cdot(-2)+0\cdot 1=5-2=3>0,$$ значит, угол между $$\vec b$$ и $$\vec c$$ острый.

в) $$\vec a\cdot \vec c=3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)+1\cdot 1=-3+2+1=0,$$ значит, угол между $$\vec a$$ и $$\vec c$$ прямой.

Ответ

а) тупой; б) острый; в) прямой.