Упр.686 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны векторы $$\mathbf{a}=3\mathbf{i}-5\mathbf{j}+\mathbf{k}$$ и $$\mathbf{b}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}$$. Вычислите:
   а) $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{i}$$;
   б) $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{j}$$;
   в) $$\mathbf{b}\cdot\mathbf{j}$$;
   г) $$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{k}$$;
   д) $$(\mathbf{a}-2\mathbf{b})\cdot(\mathbf{k}+\mathbf{j}-2\mathbf{i})$$.

Пусть $$\vec a=(3,-5,1),\qquad \vec b=(0,1,-5).$$

Скалярное произведение в координатах вычисляется по формуле

$$\vec x\cdot \vec y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

Тогда:

$$\vec a\cdot \vec b=3\cdot 0+(-5)\cdot 1+1\cdot(-5)=-10.$$

$$\vec a\cdot \vec i=3\cdot 1+(-5)\cdot 0+1\cdot 0=3.$$

$$\vec b\cdot \vec j=0\cdot 0+1\cdot 1+(-5)\cdot 0=1.$$

$$\left(\vec a+\vec b\right)\cdot \vec k=(3,-5,1)+(0,1,-5)=(3,-4,-4),$$

$$\left(\vec a+\vec b\right)\cdot \vec k=3\cdot 0+(-4)\cdot 0+(-4)\cdot 1=-4.$$

Для последнего пункта найдём сначала векторы:

$$\vec a-2\vec b=(3,-5,1)-2(0,1,-5)=(3,-7,11),$$

$$\vec k+\vec i-2\vec j=(0,0,1)+(1,0,0)-2(0,1,0)=(1,-2,1).$$

Тогда

$$\left(\vec a-2\vec b\right)\cdot \left(\vec k+\vec i-2\vec j\right)=3\cdot 1+(-7)\cdot(-2)+11\cdot 1=28.$$

Ответ: а) $$-10$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$-4$$; д) $$28$$.