Упр.684 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A(0;0;0)$$, оси направим вдоль рёбер куба. Тогда

$$B(a;0;0),\quad D(0;a;0),\quad A_1(0;0;a),\quad C(a;a;0),$$
$$B_1(a;0;a),\quad D_1(0;a;a),\quad C_1(a;a;a),\quad O_1\left(\frac a2;\frac a2;a\right).$$

Скалярное произведение найдём по формуле

$$\vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$$

1. $$\overrightarrow{AD}=(0;a;0),\quad \overrightarrow{B_1C_1}=(0;a;0),$$

   $$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}=0\cdot 0+a\cdot a+0\cdot 0=a^2.$$

2. $$\overrightarrow{AC}=(a;a;0),\quad \overrightarrow{C_1A_1}=(-a;-a;0),$$

   $$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C_1A_1}=a(-a)+a(-a)+0\cdot 0=-2a^2.$$

3. $$\overrightarrow{D_1B}=(a;-a;-a),\quad \overrightarrow{AC}=(a;a;0),$$

   $$\overrightarrow{D_1B}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a+(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0=0.$$

4. $$\overrightarrow{BA_1}=(-a;0;a),\quad \overrightarrow{BC_1}=(0;a;a),$$

   $$\overrightarrow{BA_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=(-a)\cdot 0+0\cdot a+a\cdot a=a^2.$$

5. $$\overrightarrow{A_1O_1}=\left(\frac a2;\frac a2;0\right),\quad \overrightarrow{A_1C_1}=(a;a;0),$$

   $$\overrightarrow{A_1O_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1}=\frac a2\cdot a+\frac a2\cdot a+0\cdot 0=a^2.$$

6. $$\overrightarrow{D_1O_1}=\left(\frac a2;-\frac a2;0\right),\quad \overrightarrow{B_1O_1}=\left(-\frac a2;\frac a2;0\right),$$

   $$\overrightarrow{D_1O_1}\cdot \overrightarrow{B_1O_1}=\frac a2\left(-\frac a2\right)+\left(-\frac a2\right)\frac a2+0\cdot 0=-\frac{a^2}{2}.$$

7. $$\overrightarrow{BO_1}=\left(-\frac a2;\frac a2;a\right),\quad \overrightarrow{C_1B}=(0;-a;-a),$$

   $$\overrightarrow{BO_1}\cdot \overrightarrow{C_1B}=0+\left(\frac a2\right)(-a)+a(-a)=-\frac{3a^2}{2}.$$

Ответ: а) $$a^2$$; б) $$-2a^2$$; в) $$0$$; г) $$a^2$$; д) $$a^2$$; е) $$-\frac{a^2}{2}$$; ж) $$-\frac{3a^2}{2}$$.