Упр.684 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ребро куба ABCDAlBlCiD1 равно а, точка O1 — центр грани A1B1C1D1. Вычислите скалярное произведение векторов: а) AD и B1C1; б) AC и C1A1; в) D1B и AC; г) BA1 и BC1; д) A1O1 и A1C1; e) D1O1 и B1O1; ж) BO1 и C1B.
Рассмотрим куб в прямоугольной системе координат с началом в точке $$A(0;0;0)$$ и осями вдоль рёбер куба. Тогда
$$ B(a;0;0),\quad D(0;a;0),\quad A_1(0;0;a),\quad C(a;a;0),\quad B_1(a;0;a),\quad D_1(0;a;a),\quad C_1(a;a;a). $$
Центр грани $$A_1B_1C_1D_1$$ имеет координаты
$$ O_1\left(\frac a2;\frac a2;a\right). $$
Используем формулу скалярного произведения:
$$ \vec u\cdot \vec v=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2. $$
а) $$\overrightarrow{AD}=(0;a;0),\ \overrightarrow{B_1C_1}=(0;a;0),$$
$$ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{B_1C_1}=0\cdot 0+a\cdot a+0\cdot 0=a^2. $$
б) $$\overrightarrow{AC}=(a;a;0),\ \overrightarrow{C_1A_1}=(-a;-a;0),$$
$$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{C_1A_1} =a\cdot(-a)+a\cdot(-a)+0\cdot 0=-2a^2. $$
в) $$\overrightarrow{D_1B}=(a;-a;-a),\ \overrightarrow{AC}=(a;a;0),$$
$$ \overrightarrow{D_1B}\cdot \overrightarrow{AC} =a\cdot a+(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0=0. $$
г) $$\overrightarrow{BA_1}=(-a;0;a),\ \overrightarrow{BC_1}=(0;a;a),$$
$$ \overrightarrow{BA_1}\cdot \overrightarrow{BC_1} =(-a)\cdot 0+0\cdot a+a\cdot a=a^2. $$
д) $$\overrightarrow{A_1O_1}=\left(\frac a2;\frac a2;0\right),\ \overrightarrow{A_1C_1}=(a;a;0),$$
$$ \overrightarrow{A_1O_1}\cdot \overrightarrow{A_1C_1} =\frac a2\cdot a+\frac a2\cdot a+0\cdot 0=a^2. $$
е) $$\overrightarrow{D_1O_1}=\left(\frac a2;-\frac a2;0\right),\ \overrightarrow{B_1O_1}=\left(-\frac a2;\frac a2;0\right),$$
$$ \overrightarrow{D_1O_1}\cdot \overrightarrow{B_1O_1} =\frac a2\cdot\left(-\frac a2\right)+\left(-\frac a2\right)\cdot\frac a2+0\cdot 0 =-\frac{a^2}{2}. $$
ж) $$\overrightarrow{BO_1}=\left(-\frac a2;\frac a2;a\right),\ \overrightarrow{C_1B}=(0;-a;-a),$$
$$ \overrightarrow{BO_1}\cdot \overrightarrow{C_1B} =-\frac a2\cdot 0+\frac a2\cdot(-a)+a\cdot(-a) =-\frac{3a^2}{2}. $$
Ответ
а) $$a^2$$; б) $$-2a^2$$; в) $$0$$; г) $$a^2$$; д) $$a^2$$; е) $$-\frac{a^2}{2}$$; ж) $$-\frac{3a^2}{2}$$.