Упр.682 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между векторами:

1. а) и $$B_1C$$; б) $$DA$$ и $$B_1D_1$$; в) $$A_1C_1$$ и $$A_1B$$; г) $$BC$$ и $$AC$$; д) $$BB_1$$ и $$AC$$; е) и $$AD_1$$; ж) $$A_1D_1$$ и $$BC$$; з) $$AA_1$$ и $$C_1C$$.

Обозначим ребро куба через $$a$$. Используем свойства параллельных и сонаправленных векторов: если вектор заменить на сонаправленный, угол не меняется, а если на противоположно направленный, то угол дополняется до $$180^\circ$$.

1. $$\angle\bigl(\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{B_1C}\bigr)=\angle BB_1C=45^\circ$$, так как треугольник $$BB_1C$$ — равнобедренный прямоугольный.
2. $$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{D_1A_1},\quad \overrightarrow{B_1D_1}=\overrightarrow{DB}$$, поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{B_1D_1}\bigr)=180^\circ-\angle A_1D_1B_1=135^\circ.$$
3. $$\overrightarrow{A_1C_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1B}$$ лежат в одной плоскости, а угол между ними равен углу $$\angle A_1AB=60^\circ$$, так как соответствующие направления совпадают со сторонами равностороннего треугольника.
4. $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{AC}$$ — диагональ квадрата $$ABCD$$, значит
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\bigr)=\angle DAC=45^\circ.$$
5. $$\overrightarrow{BB_1}\perp \overrightarrow{AC}$$, так как $$\overrightarrow{BB_1}$$ перпендикулярен плоскости основания куба, а $$\overrightarrow{AC}$$ лежит в этой плоскости. Следовательно,
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{AC}\bigr)=90^\circ.$$
6. $$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AD_1}$$, а диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, значит
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{B_1C_1},\overrightarrow{AD_1}\bigr)=90^\circ.$$
7. $$\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{BC}$$, поэтому
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{A_1D_1},\overrightarrow{BC}\bigr)=0^\circ.$$
8. $$\overrightarrow{AA_1}=-\overrightarrow{C_1C}$$, то есть векторы противоположно направлены. Следовательно,
   $$\angle\bigl(\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{C_1C}\bigr)=180^\circ.$$

Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$60^\circ$$; г) $$45^\circ$$; д) $$90^\circ$$; е) $$90^\circ$$; ж) $$0^\circ$$; з) $$180^\circ$$.