Упр.681 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) $$x^2-4x+y^2+z^2=0$$; б) $$x^2+y^2+z^2-2y=24$$; в) $$x^2+2x+y^2+z^2=3$$; г) $$x^2-x+y^2+3y+z^2-2z=2{,}5$$.

Приведём каждое уравнение к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=R^2.$$ Тогда сразу видно, что это уравнение сферы, а её центр и радиус находятся из полученной записи.

Решение

а)

$$x^2-4x+y^2+z^2=0$$
$$x^2-4x+4+y^2+z^2=4$$
$$\left(x-2\right)^2+y^2+z^2=4$$

Это сфера с центром $$\left(2;0;0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$

б)

$$x^2+y^2+z^2-2y=24$$
$$x^2+\left(y^2-2y+1\right)+z^2=25$$
$$x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=25$$

Это сфера с центром $$\left(0;1;0\right)$$ и радиусом $$R=5.$$

в)

$$x^2+2x+y^2+z^2=3$$
$$\left(x^2+2x+1\right)+y^2+z^2=4$$
$$\left(x+1\right)^2+y^2+z^2=4$$

Это сфера с центром $$\left(-1;0;0\right)$$ и радиусом $$R=2.$$

г)

$$x^2-x+y^2+3y+z^2-2z=2{,}5$$
$$\left(x^2-x+\frac14\right)+\left(y^2+3y+\frac94\right)+\left(z^2-2z+1\right)=2{,}5+\frac14+\frac94+1$$
$$\left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac32\right)^2+\left(z-1\right)^2=6$$

Это сфера с центром $$\left(\frac12;-\frac32;1\right)$$ и радиусом $$R=\sqrt6.$$

Ответ

а) центр $$\left(2;0;0\right)$$, $$R=2$$;
б) центр $$\left(0;1;0\right)$$, $$R=5$$;
в) центр $$\left(-1;0;0\right)$$, $$R=2$$;
г) центр $$\left(\frac12;-\frac32;1\right)$$, $$R=\sqrt6$$.