Упр.68 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки M и N — середины ребер AB и AC тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$AC$$, значит, $$MN$$ является средней линией треугольника.

По свойству средней линии треугольника имеем:

$$MN \parallel BC.$$

Прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$BCD$$. Прямая $$MN$$ не лежит в этой плоскости, так как точки $$M$$ и $$N$$ принадлежат грани $$ABC$$, а не плоскости $$BCD$$.

Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости, получаем:

$$MN \parallel (BCD).$$