Упр.676 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Даны точки $$O(0; 0; 0)$$, $$A(4; 0; 0)$$, $$B(0; 6; 0)$$, $$C(0; 0; -2)$$. Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника $$AOB$$; б) координаты точки, равноудалённой от вершин тетраэдра $$OABC$$.
Точки $$O(0;0;0)$$, $$A(4;0;0)$$ и $$B(0;6;0)$$ лежат в плоскости $$Oxy$$, значит центр окружности, описанной около $$\triangle AOB$$, тоже лежит в этой плоскости. Обозначим его через $$D(x;y;0)$$.
Так как $$DA=DB=DO$$, получаем систему:
$$\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-4)^2+y^2},\\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-6)^2}. \end{cases}$$
Возведём в квадрат:
$$\begin{cases} x^2+y^2=x^2-8x+16+y^2,\\ x^2+y^2=x^2+y^2-12y+36. \end{cases}$$
Отсюда
$$8x=16,\qquad 12y=36,$$
$$x=2,\qquad y=3.$$
Значит, центр окружности — точка $$D(2;3;0)$$.
Радиус этой окружности:
$$R=DO=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$
Теперь найдём точку, равноудалённую от вершин тетраэдра $$OABC$$. Пусть это точка $$P(x;y;z)$$. Тогда
$$PO=PA=PB=PC.$$
Запишем равенства квадратов расстояний:
$$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=(x-4)^2+y^2+z^2,\\ x^2+y^2+z^2=x^2+(y-6)^2+z^2,\\ x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+(z+2)^2. \end{cases}$$
После упрощения получаем:
$$\begin{cases} 8x=16,\\ 12y=36,\\ 4z=-4. \end{cases}$$
Следовательно,
$$x=2,\qquad y=3,\qquad z=-1.$$
Итак, искомая точка равна $$P(2;3;-1)$$.
Ответ: а) $$D(2;3;0)$$, $$R=\sqrt{13}$$; б) $$P(2;3;-1)$$.
