Упр.675 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки A (-1; 2; 3), B (-2; 1; 2) и C (0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Oyz; в) Ozx.
Пусть искомая точка имеет координаты на соответствующей координатной плоскости.
а) Плоскость $$Oxy$$. Тогда точка имеет вид $$M(x;y;0)$$. Так как она равноудалена от точек $$A(-1;2;3)$$, $$B(-2;1;2)$$ и $$C(0;-1;1)$$, то
$$MA=MB,\quad MA=MC.$$
Используем формулу расстояния между точками:
$$ MA^2=(x+1)^2+(y-2)^2+9, $$
$$ MB^2=(x+2)^2+(y-1)^2+4, $$
$$ MC^2=x^2+(y+1)^2+1. $$
Приравниваем:
$$ (x+1)^2+(y-2)^2+9=(x+2)^2+(y-1)^2+4, $$
$$ (x+1)^2+(y-2)^2+9=x^2+(y+1)^2+1. $$
После раскрытия скобок получаем систему:
$$ \begin{cases} 2x-2y=-1,\\ 2x+2y=5. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 4x=4 \Rightarrow x=1. $$
Тогда
$$ 2\cdot 1+2y=5 \Rightarrow y=\frac{3}{2}. $$
Значит, $$M\left(1;\frac{3}{2};0\right)$$.
б) Плоскость $$Oyz$$. Тогда точка имеет вид $$N(0;y;z)$$. Условие равноудалённости даёт:
$$ NA=NB,\quad NA=NC. $$
Вычислим квадраты расстояний:
$$ NA^2=1+(y-2)^2+(z-3)^2, $$
$$ NB^2=4+(y-1)^2+(z-2)^2, $$
$$ NC^2=y^2+(y+1)^2+(z-1)^2. $$
Приравнивая, получаем систему:
$$ \begin{cases} 2y+2z=5,\\ 3y+2z=6. \end{cases} $$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$ y=1. $$
Тогда
$$ 2\cdot 1+2z=5 \Rightarrow z=\frac{3}{2}. $$
Следовательно, $$N\left(0;1;\frac{3}{2}\right)$$.
в) Плоскость $$Ozx$$. Пусть $$P(x;0;z)$$. Тогда
$$ PA=PB,\quad PA=PC. $$
Имеем:
$$ PA^2=(x+1)^2+4+(z-3)^2, $$
$$ PB^2=(x+2)^2+1+(z-2)^2, $$
$$ PC^2=x^2+1+(z-1)^2. $$
Из равенств получаем систему:
$$ \begin{cases} 2x-2z=-1,\\ 2x+2z=5. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 4x=4 \Rightarrow x=1. $$
Тогда
$$ 2\cdot 1+2z=5 \Rightarrow z=\frac{3}{2}. $$
Значит, $$P\left(1;0;\frac{3}{2}\right)$$.
Ответ
а) $$\left(1;\frac{3}{2};0\right)$$; б) $$\left(0;1;\frac{3}{2}\right)$$; в) $$\left(1;0;\frac{3}{2}\right)$$.