Упр.675 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны точки $$A(-1; 2; 3)$$, $$B(-2; 1; 2)$$ и $$C(0; -1; 1)$$. Найдите точку, равноудалённую от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) $$Oxy$$; б) $$Oyz$$; в) $$Ozx$$.
Пусть искомая точка имеет координаты, соответствующие данной координатной плоскости.
а) Плоскость $$Oxy$$
Тогда точка имеет вид $$K(x;y;0)$$. Так как она равноудалена от точек $$A(-1;2;3)$$, $$B(-2;1;2)$$ и $$C(0;-1;1)$$, то
$$KA=KB,\quad KA=KC.$$
Используем формулу расстояния между точками:
$$KA^2=(x+1)^2+(y-2)^2+9,$$
$$KB^2=(x+2)^2+(y-1)^2+4,$$
$$KC^2=x^2+(y+1)^2+1.$$
Из равенств $$KA^2=KB^2$$ и $$KA^2=KC^2$$ получаем систему:
$$\begin{cases} (x+1)^2+(y-2)^2+9=(x+2)^2+(y-1)^2+4,\\ (x+1)^2+(y-2)^2+9=x^2+(y+1)^2+1. \end{cases}$$
После упрощения:
$$\begin{cases} 2x-2y+5=0,\\ 2x-6y+12=0. \end{cases}$$
Решая систему, находим:
$$y=\frac{7}{8},\qquad x=\frac{3}{8}.$$
Следовательно, $$K\left(\frac{3}{8};\frac{7}{8};0\right)$$.
б) Плоскость $$Oyz$$
Пусть $$P(0;y;z)$$. Тогда
$$PA=PB,\quad PA=PC.$$
Вычислим квадраты расстояний:
$$PA^2=1+(y-2)^2+(z-3)^2,$$
$$PB^2=4+(y-1)^2+(z-2)^2,$$
$$PC^2=y^2+(y+1)^2+(z-1)^2.$$
Из равенств $$PA^2=PB^2$$ и $$PA^2=PC^2$$ получаем:
$$\begin{cases} 1+(y-2)^2+(z-3)^2=4+(y-1)^2+(z-2)^2,\\ 1+(y-2)^2+(z-3)^2=y^2+(y+1)^2+(z-1)^2. \end{cases}$$
После упрощения:
$$\begin{cases} 2y+3z=5,\\ 3y+2z=6. \end{cases}$$
Решая систему, получаем:
$$y=1,\qquad z=\frac{3}{2}.$$
Значит, $$P\left(0;1;\frac{3}{2}\right)$$.
в) Плоскость $$Ozx$$
Пусть $$R(x;0;z)$$. Тогда
$$RA=RB,\quad RA=RC.$$
Вычислим квадраты расстояний:
$$RA^2=(x+1)^2+4+(z-3)^2,$$
$$RB^2=(x+2)^2+1+(z-2)^2,$$
$$RC^2=x^2+1+(z-1)^2.$$
Из равенств $$RA^2=RB^2$$ и $$RA^2=RC^2$$ получаем систему:
$$\begin{cases} (x+1)^2+4+(z-3)^2=(x+2)^2+1+(z-2)^2,\\ (x+1)^2+4+(z-3)^2=x^2+1+(z-1)^2. \end{cases}$$
После упрощения:
$$\begin{cases} 2x-2z+5=0,\\ 2x-4z+12=0. \end{cases}$$
Решая систему, находим:
$$z=\frac{17}{6},\qquad x=-\frac{1}{3}.$$
Следовательно, $$R\left(-\frac{1}{3};0;\frac{17}{6}\right)$$.
Ответ: $$K\left(\frac{3}{8};\frac{7}{8};0\right),\quad P\left(0;1;\frac{3}{2}\right),\quad R\left(-\frac{1}{3};0;\frac{17}{6}\right).$$
