Упр.674 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите точку, равноудалённую от точек $$A(-2; 3; 5)$$ и $$B(3; 2; -3)$$ и расположенную на оси: а) $$Ox$$; б) $$Oy$$; в) $$Oz$$.

Пусть искомая точка имеет координаты на соответствующей оси.

а) Точка на оси $$Ox$$

Тогда $$P(x;0;0)$$. Так как точка равноудалена от $$A(-2;3;5)$$ и $$B(3;2;-3)$$, то

$$PA=PB.$$

Используем формулу расстояния между точками:

$$PA^2=(x+2)^2+(0-3)^2+(0-5)^2=x^2+4x+38,$$
$$PB^2=(x-3)^2+(0-2)^2+(0+3)^2=x^2-6x+22.$$

Приравниваем:

$$x^2+4x+38=x^2-6x+22,$$
$$10x=-16,$$
$$x=-1{,}6.$$

Значит, $$P(-1{,}6;0;0)$$.

б) Точка на оси $$Oy$$

Тогда $$P(0;y;0)$$ и снова $$PA=PB$$.

$$PA^2=(0+2)^2+(y-3)^2+(0-5)^2=y^2-6y+38,$$
$$PB^2=(0-3)^2+(y-2)^2+(0+3)^2=y^2-4y+22.$$

Приравниваем:

$$y^2-6y+38=y^2-4y+22,$$
$$-2y=-16,$$
$$y=8.$$

Следовательно, $$P(0;8;0)$$.

в) Точка на оси $$Oz$$

Тогда $$P(0;0;z)$$ и $$PA=PB$$.

$$PA^2=(0+2)^2+(0-3)^2+(z-5)^2=z^2-10z+38,$$
$$PB^2=(0-3)^2+(0-2)^2+(z+3)^2=z^2+6z+22.$$

Приравниваем:

$$z^2-10z+38=z^2+6z+22,$$
$$-16z=-16,$$
$$z=1.$$

Значит, $$P(0;0;1)$$.

Ответ: а) $$(-1{,}6;0;0)$$; б) $$(0;8;0)$$; в) $$(0;0;1)$$.