Упр.674 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите точку, равноудаленную от точек A (-2; 3; 5) и B (3; 2; -3) и расположенную на оси: а) Ox; б) Oy; в) Oz.

Пусть искомая точка на оси $$Ox$$ имеет вид $$X(x;0;0)$$. Так как она равноудалена от точек $$A(-2;3;5)$$ и $$B(3;2;-3)$$, то

$$XA=XB.$$

Используем формулу расстояния между точками в пространстве:

$$ XA=\sqrt{(x+2)^2+(0-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{(x+2)^2+34}, $$

$$ XB=\sqrt{(x-3)^2+(0-2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{(x-3)^2+13}. $$

Приравниваем:

$$ (x+2)^2+34=(x-3)^2+13. $$

$$ x^2+4x+4+34=x^2-6x+9+13, $$

$$ 4x+38=-6x+22, $$

$$ 10x=-16,\qquad x=-\frac{8}{5}. $$

Значит, на оси $$Ox$$ искомая точка:

$$X\left(-\frac{8}{5};0;0\right).$$

Пусть искомая точка на оси $$Oy$$ имеет вид $$Y(0;y;0)$$. Тогда

$$YA=YB.$$

Находим:

$$ YA=\sqrt{(0+2)^2+(y-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{(y-3)^2+29}, $$

$$ YB=\sqrt{(0-3)^2+(y-2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{(y-2)^2+18}. $$

Приравниваем:

$$ (y-3)^2+29=(y-2)^2+18. $$

$$ y^2-6y+9+29=y^2-4y+4+18, $$

$$ -6y+38=-4y+22, $$

$$ -2y=-16,\qquad y=8. $$

Следовательно, на оси $$Oy$$ искомая точка:

$$Y(0;8;0).$$

Пусть искомая точка на оси $$Oz$$ имеет вид $$Z(0;0;z)$$. Тогда

$$ZA=ZB.$$

Имеем:

$$ ZA=\sqrt{(0+2)^2+(0-3)^2+(z-5)^2}=\sqrt{(z-5)^2+13}, $$

$$ ZB=\sqrt{(0-3)^2+(0-2)^2+(z+3)^2}=\sqrt{(z+3)^2+13}. $$

Приравниваем:

$$ (z-5)^2+13=(z+3)^2+13. $$

$$ z^2-10z+25=z^2+6z+9, $$

$$ -16z=-16,\qquad z=1. $$

Значит, на оси $$Oz$$ искомая точка:

$$Z(0;0;1).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac{8}{5};0;0\right)$$; б) $$\left(0;8;0\right)$$; в) $$\left(0;0;1\right)$$.