Упр.673 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(4;4;0)$$, $$B(0;0;0)$$, $$C(0;3;4)$$ и $$D(1;4;4)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(0-4)^2+(0-4)^2+(0-0)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{(0-0)^2+(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}=5,$$
$$CD=\sqrt{(1-0)^2+(4-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{2},$$
$$DA=\sqrt{(4-1)^2+(4-4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25}=5.$$

Получаем $$BC=DA=5$$, то есть одна пара противоположных сторон равна.

Теперь докажем, что $$AB \parallel CD$$. Для этого найдём их направляющие векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(0-4,\;0-4,\;0-0)=(-4,-4,0),$$
$$\overrightarrow{CD}=(1-0,\;4-3,\;4-4)=(1,1,0).$$

Векторы пропорциональны:

$$\overrightarrow{AB}=-4\,\overrightarrow{CD},$$
значит, $$AB \parallel CD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара противоположных сторон равна. Следовательно, $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.

Ответ: $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция.