Упр.672 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(1; 0; k)$$, $$B(-1; 2; 3)$$ и $$C(0; 0; 1)$$. При каких значениях $$k$$ треугольник $$ABC$$ является равнобедренным?

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$AB=\sqrt{(-1-1)^2+(2-0)^2+(3-k)^2}=\sqrt{8+(k-3)^2}$$

$$AC=\sqrt{(0-1)^2+(0-0)^2+(1-k)^2}=\sqrt{1+(k-1)^2}$$

$$BC=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{9}=3$$

Треугольник равнобедренный, если равны две его стороны. Рассмотрим возможные случаи.

1. $$AB=AC$$

   $$8+(k-3)^2=1+(k-1)^2$$

   $$8+k^2-6k+9=1+k^2-2k+1$$

   $$-4k=-15,\quad k=\frac{15}{4}$$

2. $$AB=BC$$

   $$8+(k-3)^2=9$$

   $$(k-3)^2=1$$

   $$k-3=\pm 1,\quad k=2 \text{ или } k=4$$

3. $$AC=BC$$

   $$1+(k-1)^2=9$$

   $$(k-1)^2=8$$

   $$k-1=\pm 2\sqrt{2},\quad k=1\pm 2\sqrt{2}$$

При этих значениях $$k$$ треугольник $$ABC$$ является равнобедренным.

Ответ: $$k=\frac{15}{4},\ 2,\ 4,\ 1-2\sqrt{2},\ 1+2\sqrt{2}$$.