Упр.672 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки A(1; 0; k), B(-1; 2; 3) и C (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?
Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:
$$ AB=\sqrt{(-1-1)^2+(2-0)^2+(3-k)^2}=\sqrt{8+(k-3)^2}, $$
$$ AC=\sqrt{(0-1)^2+(0-0)^2+(1-k)^2}=\sqrt{1+(1-k)^2}, $$
$$ BC=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{1+4+4}=3. $$
Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, если равны две его стороны. Рассмотрим возможные случаи.
1) $$AB=AC$$
Тогда
$$ 8+(k-3)^2=1+(1-k)^2. $$
Раскроем скобки:
$$ 8+k^2-6k+9=1+k^2-2k+1, $$
$$ 17-6k=2-2k, $$
$$ 15=4k,\quad k=\frac{15}{4}. $$
2) $$AB=BC$$
Тогда
$$ 8+(k-3)^2=9. $$
$$ (k-3)^2=1, $$
$$ k-3=\pm 1. $$
Отсюда
$$ k=2 \quad \text{или} \quad k=4. $$
3) $$AC=BC$$
Тогда
$$ 1+(1-k)^2=9. $$
$$ (1-k)^2=8, $$
$$ 1-k=\pm 2\sqrt{2}. $$
Следовательно,
$$ k=1\pm 2\sqrt{2}. $$
Итак, при этих значениях $$k$$ треугольник $$ABC$$ является равнобедренным.
Ответ
$$k=\frac{15}{4},\ 2,\ 4,\ 1-2\sqrt{2},\ 1+2\sqrt{2}.$$