Упр.668 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Определите вид треугольника ABC, если: а) A (9; 3; -5), B (2; 10; -5), C (2; 3; 2); б) A(3; 7; -4), B (5; -3; 2), C(1; 3; -10); в) A (5; -5; -1), B (5; -3; -1), C (4; -3; 0); г) A (-5; 2; 0), B (-4; 3; 0), C (-5; 2; -2).

Найдём длины сторон каждого треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$ |AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} $$

Далее сравним полученные длины и определим вид треугольника.

а)

$$ |AB|=\sqrt{(2-9)^2+(10-3)^2+(-5+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2} $$

$$ |AC|=\sqrt{(2-9)^2+(3-3)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2} $$

$$ |BC|=\sqrt{(2-2)^2+(3-10)^2+(2+5)^2}=\sqrt{49+49}=7\sqrt{2} $$

Следовательно, $$|AB|=|AC|=|BC|$$, значит, $$\triangle ABC$$ — равносторонний.

б)

$$ |AB|=\sqrt{(5-3)^2+(-3-7)^2+(2+4)^2}=\sqrt{4+100+36}=\sqrt{140}=2\sqrt{35} $$

$$ |AC|=\sqrt{(1-3)^2+(3-7)^2+(-10+4)^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14} $$

$$ |BC|=\sqrt{(1-5)^2+(3+3)^2+(-10-2)^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14 $$

Проверим теорему Пифагора:

$$ |AB|^2+|AC|^2=140+56=196=|BC|^2 $$

Значит, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, причём $$\angle A=90^\circ$$.

в)

$$ |AB|=\sqrt{(5-5)^2+(-3+5)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{4}=2 $$

$$ |AC|=\sqrt{(4-5)^2+(-3+5)^2+(0+1)^2}=\sqrt{6} $$

$$ |BC|=\sqrt{(4-5)^2+(-3+3)^2+(0+1)^2}=\sqrt{2} $$

Проверим:

$$ |AB|^2+|BC|^2=4+2=6=|AC|^2 $$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, причём $$\angle B=90^\circ$$.

г)

$$ |AB|=\sqrt{(-4+5)^2+(3-2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{2} $$

$$ |AC|=\sqrt{(-5+5)^2+(2-2)^2+(-2-0)^2}=2 $$

$$ |BC|=\sqrt{(-5+4)^2+(2-3)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{6} $$

Проверим:

$$ |AB|^2+|AC|^2=2+4=6=|BC|^2 $$

Значит, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, причём $$\angle A=90^\circ$$.

Ответ

а) равносторонний; б) прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$; в) прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$; г) прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$.