Упр.667 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны точки $$A(1;1;-2)$$, $$B(2;2;-3)$$ и $$C(2;0;-1)$$. Найдите: а) периметр треугольника $$ABC$$; б) медианы треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками в пространстве:

$$AB=\sqrt{\left(2-\frac32\right)^2+(2-1)^2+(-3-(-2))^2} =\sqrt{\left(\frac12\right)^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt{\frac94}=\frac32,$$
$$BC=\sqrt{(2-2)^2+(0-2)^2+(-1-(-3))^2} =\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt8=2\sqrt2,$$
$$CA=\sqrt{\left(\frac32-2\right)^2+(1-0)^2+(-2-(-1))^2} =\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+1^2+(-1)^2} =\frac32.$$

Тогда периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+CA=\frac32+2\sqrt2+\frac32=3+2\sqrt2.$$

Найдём середины сторон:

$$M_a\left(\frac{2+2}{2};\frac{2+0}{2};\frac{-3+(-1)}{2}\right)=(2;1;-2),$$
$$M_b\left(\frac{\frac32+2}{2};\frac{1+0}{2};\frac{-2+(-1)}{2}\right)=\left(\frac74;\frac12;-\frac32\right),$$
$$M_c\left(\frac{\frac32+2}{2};\frac{1+2}{2};\frac{-2+(-3)}{2}\right)=\left(\frac74;\frac32;-\frac52\right).$$

Теперь найдём длины медиан:

$$AM_a=\sqrt{(2-\frac32)^2+(1-1)^2+(-2-(-2))^2} =\sqrt{\left(\frac12\right)^2}=\frac12,$$
$$BM_b=\sqrt{\left(\frac74-2\right)^2+\left(\frac12-2\right)^2+\left(-\frac32-(-3)\right)^2} =\sqrt{\left(-\frac14\right)^2+\left(-\frac32\right)^2+\left(\frac32\right)^2} =\frac{\sqrt{73}}{4},$$
$$CM_c=\sqrt{\left(\frac74-2\right)^2+\left(\frac32-0\right)^2+\left(-\frac52-(-1)\right)^2} =\sqrt{\left(-\frac14\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac32\right)^2} =\frac{\sqrt{73}}{4}.$$

Ответ: $$P_{ABC}=3+2\sqrt2$$; медианы: $$AM_a=\frac12,\; BM_b=\frac{\sqrt{73}}{4},\; CM_c=\frac{\sqrt{73}}{4}.$$