Упр.665 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны векторы $$\vec a=(3;-2;1)$$, $$\vec b=(-2;3;1)$$ и $$\vec c=(-3;2;1)$$. Найдите: а) $$|\vec a+\vec b|$$; б) $$|\vec a|+|\vec b|$$; в) $$|\vec a|-|\vec b|$$; г) $$|\vec a-\vec b|$$; д) $$|3\vec c|$$; е) $$\mathrm{VH}|\vec c|$$; ж) $$|2\vec a-3\vec c|$$.

Воспользуемся формулой длины вектора $$\vec{u}=(x;y;z):\quad |\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

1. $$\vec{a}+\vec{b}=(3-2;\,-2+3;\,1+1)=(1;1;2),$$

   $$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.$$

2. $$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{14},\qquad |\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{14},$$

   $$|\vec{a}|+|\vec{b}|=2\sqrt{14}.$$

3. $$|\vec{a}|-|\vec{b}|=\sqrt{14}-\sqrt{14}=0.$$

4. $$\vec{a}-\vec{b}=(3-(-2);\,-2-3;\,1-1)=(5;-5;0),$$

   $$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5^2+(-5)^2+0^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

5. $$3\vec{c}=3\cdot(-3;2;1)=(-9;6;3),$$

   $$|3\vec{c}|=\sqrt{(-9)^2+6^2+3^2}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}.$$

6. $$|\vec{c}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+1^2}=\sqrt{14},$$

   $$\sqrt{14}\cdot|\vec{c}|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}=14.$$

7. $$2\vec{a}=(6;-4;2),\qquad 3\vec{c}=(-9;6;3),$$

   $$2\vec{a}-3\vec{c}=(6-(-9);\,-4-6;\,2-3)=(15;-10;-1),$$

   $$|2\vec{a}-3\vec{c}|=\sqrt{15^2+(-10)^2+(-1)^2}=\sqrt{326}.$$

Ответ: а) $$\sqrt{6}$$; б) $$2\sqrt{14}$$; в) $$0$$; г) $$5\sqrt{2}$$; д) $$3\sqrt{14}$$; е) $$14$$; ж) $$\sqrt{326}$$.