Упр.662 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Середина отрезка $$AB$$ лежит на оси $$Ox$$. Найдите $$m$$ и $$n$$, если:
   а) $$A(-3;m;5),\ B(2;-2;n)$$;
   б) $$A(1;0{,}5;-4),\ B(1;m;2n)$$;
   в) $$A(0;m;n+1),\ B(1;n;-m+1)$$;
   г) $$A(7;2m+n;-n),\ B(-5;-3;m-3)$$.

Пусть середина отрезка $$AB$$ лежит на оси $$Ox$$. Тогда её координаты имеют вид $$M(x;0;0)$$. Для середины отрезка используем формулу:

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).$$

Так как точка $$M$$ лежит на оси $$Ox$$, то её координаты $$y_M=0$$ и $$z_M=0$$. Приравниваем соответствующие суммы координат к нулю.

1. $$A(-3;m;5),\quad B(2;-2;n)$$

   $$\frac{m+(-2)}{2}=0 \Rightarrow m-2=0 \Rightarrow m=2,$$

   $$\frac{5+n}{2}=0 \Rightarrow 5+n=0 \Rightarrow n=-5.$$

2. $$A(1;0{,}5;-4),\quad B(1;m;2n)$$

   $$\frac{0{,}5+m}{2}=0 \Rightarrow 0{,}5+m=0 \Rightarrow m=-0{,}5,$$

   $$\frac{-4+2n}{2}=0 \Rightarrow -4+2n=0 \Rightarrow n=2.$$

3. $$A(0;m;n+1),\quad B(1;n;-m+1)$$

   $$\frac{m+n}{2}=0 \Rightarrow m+n=0,$$

   $$\frac{(n+1)+(-m+1)}{2}=0 \Rightarrow n-m+2=0 \Rightarrow n-m=-2.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} m+n=0,\\ n-m=-2. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$n=-m$$. Подставим во второе:

   $$-m-m=-2 \Rightarrow -2m=-2 \Rightarrow m=1,\quad n=-1.$$

4. $$A(7;2m+n;-n),\quad B(-5;-3;m-3)$$

   $$\frac{(2m+n)+(-3)}{2}=0 \Rightarrow 2m+n-3=0,$$

   $$\frac{-n+(m-3)}{2}=0 \Rightarrow m-n-3=0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 2m+n=3,\\ m-n=3. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$n=m-3$$. Подставим в первое:

   $$2m+(m-3)=3 \Rightarrow 3m=6 \Rightarrow m=2,$$

   $$n=2-3=-1.$$

Ответ: а) $$m=2,\ n=-5$$; б) $$m=-0{,}5,\ n=2$$; в) $$m=1,\ n=-1$$; г) $$m=2,\ n=-1$$.