Упр.660 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$ с вершинами $$A(x_1; y_1; z_1)$$, $$B(x_2; y_2; z_2)$$, $$C(x_3; y_3; z_3)$$ имеет координаты.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, а $$D$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда

$$D\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right).$$

Так как $$CD$$ — медиана, то точка $$M$$ делит её в отношении $$CM:MD=2:1$$, считая от вершины $$C$$. Значит, координаты точки $$M$$ на отрезке $$CD$$ можно записать как

$$\vec{OM}=\frac{1}{3}\vec{OC}+\frac{2}{3}\vec{OD}.$$

Подставим координаты точек $$C$$ и $$D$$:

$$\begin{aligned} x_M&=\frac{1}{3}x_3+\frac{2}{3}\cdot\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\\ y_M&=\frac{1}{3}y_3+\frac{2}{3}\cdot\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\\ z_M&=\frac{1}{3}z_3+\frac{2}{3}\cdot\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}. \end{aligned}$$

Следовательно, точка пересечения медиан треугольника имеет координаты

$$M\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\frac{y_1+y_2+y_3}{3};\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right).$$