Упр.659 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Лежат ли точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ в одной плоскости, если:
а) $$A(-2; -13; 3)$$, $$B(1; 4; 1)$$, $$C(-1; -1; -4)$$, $$D(0; 0; 0)$$;
б) $$A(0; 1; 0)$$, $$B(3; 4; -1)$$, $$C(-2; -3; 0)$$, $$D(2; 0; 3)$$;
в) $$A(5; -1; 0)$$, $$B(-2; 7; 1)$$, $$C(12; -15; -7)$$, $$D(1; 1; -2)$$?

Подробный ответ

Проверим компланарность векторов $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}.$$ Если эти три вектора компланарны, то точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ лежат в одной плоскости.

а)

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(1-(-2),\ 4-(-13),\ 1-3)=(3,\ 17,\ -2),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-1-(-2),\ -1-(-13),\ -4-3)=(1,\ 12,\ -7),$$
$$\overrightarrow{AD}=(0-(-2),\ 0-(-13),\ 0-3)=(2,\ 13,\ -3).$$

Проверим, выражается ли $$\overrightarrow{AB}$$ через $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$

Тогда

$$\begin{cases} 3=m+2n,\\ 17=12m+13n,\\ -2=-7m-3n. \end{cases}$$

Из первых двух уравнений получаем $$m=-\frac{11}{3},\ n=\frac{7}{3}.$$ Подстановка в третье уравнение даёт:

$$-2\ne -7\left(-\frac{11}{3}\right)-3\cdot\frac{7}{3},$$

то есть система не имеет решения. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}$$ не компланарны, а точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ не лежат в одной плоскости.

б)

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AB}=(3-0,\ 4-1,\ -1-0)=(3,\ 3,\ -1),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-2-0,\ -3-1,\ 0-0)=(-2,\ -4,\ 0),$$
$$\overrightarrow{AD}=(2-0,\ 0-1,\ 3-0)=(2,\ -1,\ 3).$$

Пусть

$$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$

Тогда

$$\begin{cases} 3=-2m+2n,\\ 3=-4m-n,\\ -1=3n. \end{cases}$$

Из третьего уравнения $$n=-\frac{1}{3}$$, тогда из первого $$3=-2m-\frac{2}{3}$$, откуда $$m=-\frac{11}{6}.$$ Проверка во втором уравнении показывает, что равенство не выполняется. Значит, решения нет.

Следовательно, точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ не лежат в одной плоскости.

в)

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(-2-5,\ 7-(-1),\ 1-0)=(-7,\ 8,\ 1),$$
$$\overrightarrow{AC}=(12-5,\ -15-(-1),\ -7-0)=(7,\ -14,\ -7),$$
$$\overrightarrow{AD}=(1-5,\ 1-(-1),\ -2-0)=(-4,\ 2,\ -2).$$

Пусть

$$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}.$$

Тогда

$$\begin{cases} -7=7m-4n,\\ 8=-14m+2n,\\ 1=-7m-2n. \end{cases}$$

Из первого и третьего уравнений получаем $$m=-\frac{3}{7},\ n=1.$$ Проверка во втором уравнении:

$$8=-14\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)+2\cdot 1=6+2=8.$$

Равенство выполняется, значит, векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}$$ компланарны. Следовательно, точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ лежат в одной плоскости.