Упр.658 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Лежат ли точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ на одной прямой, если:
а) $$A(3; -7; 8)$$, $$B(-5; 4; 1)$$, $$C(27; -40; 29)$$;
б) $$A(-5; 7; 12)$$, $$B(4; -8; 3)$$, $$C(13; -23; -6)$$;
в) $$A(-4; 8; -2)$$, $$B(-3; -1; 7)$$, $$C(-2; -10; -16)$$?

Подробный ответ

Чтобы проверить, лежат ли точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ на одной прямой, достаточно выяснить, коллинеарны ли векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$. Если они коллинеарны, то точки лежат на одной прямой.

$$A(3;\,-7;\,8),\; B(-5;\,4;\,1),\; C(27;\,-40;\,29)$$
$$\overrightarrow{AB}=(-5-3;\,4-(-7);\;1-8)=(-8;\,11;\,-7)$$

$$\overrightarrow{AC}=(27-3;\,-40-(-7);\;29-8)=(24;\,-33;\,21)$$
Видно, что
$$\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{AB}$$
значит, векторы коллинеарны. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.
$$A(-5;\,7;\,12),\; B(4;\,-8;\,3),\; C(13;\,-23;\,-6)$$
$$\overrightarrow{AB}=(4-(-5);\,-8-7;\,3-12)=(9;\,-15;\,-9)$$

$$\overrightarrow{AC}=(13-(-5);\,-23-7;\,-6-12)=(18;\,-30;\,-18)$$
Имеем
$$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$$
значит, векторы коллинеарны. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.
$$A(-4;\,8;\,-2),\; B(-3;\,-1;\,7),\; C(-2;\,-10;\,-16)$$
$$\overrightarrow{AB}=(-3-(-4);\,-1-8;\,7-(-2))=(1;\,-9;\,9)$$

$$\overrightarrow{AC}=(-2-(-4);\,-10-8;\,-16-(-2))=(2;\,-18;\,-14)$$
Координаты векторов не пропорциональны, значит, $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ не коллинеарны. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой.