Упр.652 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Компланарность трёх векторов $$\vec a,\vec b,\vec c$$ означает, что существуют числа $$m$$ и $$n$$ такие, что

$$\vec a=m\vec b+n\vec c.$$

Тогда в координатах это равносильно тому, что соответствующая система уравнений имеет решение.

1. $$\vec a=(-3,-3,0),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec j=(0,1,0).$$

   Вектор $$\vec a=-3\vec i-3\vec j,$$ значит, $$\vec a,\vec i,\vec j$$ компланарны.

2. $$\vec b=(2,0,-3),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec j=(0,1,0).$$

   Пусть $$\vec b=m\vec i+n\vec j.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 2=m,\\ 0=n,\\ -3=0. \end{cases}$$

   Последнее равенство неверно, значит, система не имеет решения. Следовательно, $$\vec b,\vec i,\vec j$$ не компланарны.

3. $$\vec c=(1,0,-2),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec k=(0,0,1).$$

   Имеем $$\vec c=\vec i-2\vec k,$$ значит, $$\vec c,\vec i,\vec k$$ компланарны.

4. $$\vec d=(1,-1,2),\ \vec e=(-2,0,1),\ \vec f=(5,-1,0).$$

   Проверим, можно ли разложить $$\vec f$$ по векторам $$\vec d$$ и $$\vec e$$:

   $$\vec f=x\vec d+y\vec e.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 5=x-2y,\\ -1=-x,\\ 0=2x+y. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$x=1$$, из третьего $$y=-2$$. Подстановка в первое уравнение даёт $$5=1-2\cdot(-2)=5$$. Система имеет решение, значит, $$\vec d,\vec e,\vec f$$ компланарны.

5. $$\vec m=(1,0,2),\ \vec n=(1,1,-1),\ \vec p=(-1,2,4).$$

   Пусть $$\vec p=x\vec m+y\vec n.$$ Тогда

   $$\begin{cases} -1=x+y,\\ 2=y,\\ 4=2x-y. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=2$$, тогда из первого $$x=-3$$. Но в третьем уравнении получаем $$4=2\cdot(-3)-2=-8,$$ что неверно. Значит, $$\vec m,\vec n,\vec p$$ не компланарны.

6. $$\vec q=(0,5,3),\ \vec r=(3,3,3),\ \vec s=(1,1,4).$$

   Пусть $$\vec q=x\vec r+y\vec s.$$ Тогда

   $$\begin{cases} 0=3x+y,\\ 5=3x+y,\\ 3=3x+4y. \end{cases}$$

   Первые два уравнения противоречат друг другу, значит, решения нет. Следовательно, $$\vec q,\vec r,\vec s$$ не компланарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет.