Упр.652 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Компланарны ли векторы: а) а {-3; -3; 0}, i и j; б) b {2; 0; -3}, i и j; в) с {1; 0; -2}, ink; r)d{l;-l;2}, e{-2;0;l} и /{5;-l;0}; д) гаг {1; 0; 2}, га {1; 1; -1} и p{-l; 2; 4}; e) q {0; 5; 3}, r{3; 3; 3} и s {1; 1; 4}? Решение r) Векторы d {1; -1; 2} и e {-2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор f {5; -1; 0} можно разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и e, то векторы d, e и f не компланарны (в противном случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и e). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и e, т. e. существуют ли числа x *¦ “¦ и у такие, что f = xd + ye. Записывая это равенство в координатах, получаем: 5 = x — 2у, -1 = -x, 0 = 2x + у. Если эта система уравнений имеет решение относительно x и у, то вектор f можно разложить по векторам d и e, а если не имеет решения, то вектор f разложить нельзя. B данном случае система ^ имеет решение: x = 1, у = -2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и e, и, значит, векторы d, e и f компланарны.

Компланарность трёх векторов $$\vec a,\vec b,\vec c$$ означает, что существуют числа $$m$$ и $$n$$ такие, что

$$\vec a=m\vec b+n\vec c.$$

В координатах это равносильно тому, что система

$$ \begin{cases} x_a=mx_b+nx_c,\\ y_a=my_b+ny_c,\\ z_a=mz_b+nz_c \end{cases} $$

имеет решение.

а) $$\vec a=(-3,-3,0),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec j=(0,1,0).$$

Ищем $$m$$ и $$n$$ из равенства $$\vec a=m\vec i+n\vec j.$$ Тогда

$$ \begin{cases} -3=m,\\ -3=n,\\ 0=0 \end{cases} $$

Решение есть, значит, векторы компланарны.

б) $$\vec b=(2,0,-3),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec j=(0,1,0).$$

Пусть $$\vec b=m\vec i+n\vec j.$$ Тогда

$$ \begin{cases} 2=m,\\ 0=n,\\ -3=0 \end{cases} $$

Последнее равенство неверно, значит, система не имеет решения. Следовательно, векторы не компланарны.

в) $$\vec c=(1,0,-2),\ \vec i=(1,0,0),\ \vec k=(0,0,1).$$

Пусть $$\vec c=m\vec i+n\vec k.$$ Тогда

$$ \begin{cases} 1=m,\\ 0=0,\\ -2=n \end{cases} $$

Решение есть, значит, векторы компланарны.

г) $$\vec d=(1,-1,2),\ \vec e=(-2,0,1),\ \vec f=(5,-1,0).$$

Проверим, можно ли представить $$\vec f$$ в виде линейной комбинации $$\vec d$$ и $$\vec e$$:

$$\vec f=x\vec d+y\vec e.$$

Тогда

$$ \begin{cases} 5=x-2y,\\ -1=-x,\\ 0=2x+y \end{cases} $$

Из второго уравнения $$x=1$$, тогда из третьего $$y=-2$$. Подстановка в первое даёт

$$5=1-2\cdot(-2)=5.$$

Система имеет решение, значит, векторы компланарны.

д) $$\vec m=(1,0,2),\ \vec n=(1,1,-1),\ \vec p=(-1,2,4).$$

Пусть $$\vec p=x\vec m+y\vec n.$$ Тогда

$$ \begin{cases} -1=x+y,\\ 2=y,\\ 4=2x-y \end{cases} $$

Из второго уравнения $$y=2$$, тогда из первого $$x=-3$$. Проверим третье:

$$2x-y=2\cdot(-3)-2=-8\neq 4.$$

Система не имеет решения, значит, векторы не компланарны.

е) $$\vec q=(0,5,3),\ \vec r=(3,3,3),\ \vec s=(1,1,4).$$

Пусть $$\vec q=x\vec r+y\vec s.$$ Тогда

$$ \begin{cases} 0=3x+y,\\ 5=3x+y,\\ 3=3x+4y \end{cases} $$

Первые два уравнения противоречат друг другу, значит, решения нет. Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ

а) компланарны; б) не компланарны; в) компланарны; г) компланарны; д) не компланарны; е) не компланарны.