Упр.650 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Коллинеарны ли векторы: а) а {3; 6; 8} и b {6; 12; 16}; б) с {1; -1; 3} и d {2; 3; 15}; в) i {1; 0; 0} и / {0; 1; 0}; г) m {0; 0; 0} и га {5; 7; -3}; д) р\ i; -1; б|и q {-1; -3; -15}? Решение а) Координаты вектора а {3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора b {6; 12; 16}: ^ = ^r = Л = й > гДе k = ^- Поэтому а = kb, и, 6 12 12 2 следовательно, векторы а и b коллинеарны. б) Координаты векторас {1; -1; 3} не пропорциональны координатам вектора d {2; 3; 15}, например i Ф -\. Поэтому векторы с и d 2 о не коллинеарны. B самом деле, если предположить, что векторы с и d коллинеарны, то существует такое число k, что с = kd. Ho тогда координаты вектора с пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи.

Коллинеарность векторов означает, что их координаты пропорциональны. Отдельно отметим, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

а) Для векторов $$\vec a=(3;6;8)$$ и $$\vec b=(6;12;16)$$ имеем:

$$\frac{3}{6}=\frac{6}{12}=\frac{8}{16}=\frac12.$$

Значит, координаты пропорциональны, следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

б) Для векторов $$\vec c=(1;-1;3)$$ и $$\vec d=(2;3;15)$$ координаты не пропорциональны, например:

$$\frac{1}{2}\ne\frac{-1}{3}.$$

Следовательно, $$\vec c$$ и $$\vec d$$ не коллинеарны.

в) Для векторов $$\vec i=(1;0;0)$$ и $$\vec j=(0;1;0)$$ координаты не пропорциональны, значит, $$\vec i$$ и $$\vec j$$ не коллинеарны.

г) Вектор $$\vec m=(0;0;0)$$ — нулевой, а нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Поэтому $$\vec m$$ и $$\vec n=(5;7;-3)$$ коллинеарны.

д) Для векторов $$\vec p=\left(\frac13;-1;5\right)$$ и $$\vec q=(-1;-3;-15)$$ координаты не пропорциональны, например:

$$\frac{\frac13}{-1}=-\frac13,\qquad \frac{-1}{-3}=\frac13.$$

Следовательно, $$\vec p$$ и $$\vec q$$ не коллинеарны.

Ответ

а) коллинеарны; б) не коллинеарны; в) не коллинеарны; г) коллинеарны; д) не коллинеарны.