Упр.65 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Параллельные отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 заключены между параллельными плоскостями а и P (рис. 32). а) Определите вид HeTbipexyranbHHKOBA1B1B2A2, B1C1C2B2HA1C1C2A2. б) Докажите, что AA1B1C1 = AA2B2C2.

Через две параллельные прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит плоскость $$\gamma$$. Так как прямые $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$ параллельны, то прямая $$B_1B_2$$ также лежит в плоскости $$\gamma$$.

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, а плоскость $$\gamma$$ пересекает их по прямым $$A_1C_1$$ и $$A_2C_2$$. Следовательно,

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$A_1A_2C_2C_1$$. В нём

$$A_1A_2 \parallel C_1C_2,$$

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Значит, $$A_1A_2C_2C_1$$ — параллелограмм.

Аналогично доказывается, что четырёхугольники $$A_1B_1B_2A_2$$ и $$B_1C_1C_2B_2$$ тоже являются параллелограммами.

Теперь рассмотрим параллелограммы $$A_1A_2C_2C_1$$ и $$A_1B_1B_2A_2$$. Из свойств параллелограмма получаем:

$$A_1C_1 = A_2C_2,$$

$$A_1B_1 = A_2B_2,$$

$$B_1C_1 = B_2C_2.$$

Следовательно, в треугольниках $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ попарно равны все три стороны:

$$A_1B_1 = A_2B_2,\quad B_1C_1 = B_2C_2,\quad A_1C_1 = A_2C_2.$$

Значит, $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$ по трём сторонам.

Ответ

а) $$A_1B_1B_2A_2$$, $$B_1C_1C_2B_2$$ и $$A_1C_1C_2A_2$$ — параллелограммы.

б) $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.