Упр.65 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

а) Определите вид четырехугольников $$A_1B_1B_2A_2$$, $$B_1C_1C_2B_2$$ и $$A_1C_1C_2A_2$$.

б) Докажите, что $$\angle A_1B_1C_1=\angle A_2B_2C_2$$.

Так как через две параллельные прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит плоскость, обозначим её $$\gamma$$. Тогда плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$A_1C_1$$ и $$A_2C_2$$, а значит, $$A_1C_1 \parallel A_2C_2$$.

Кроме того, по условию $$A_1A_2 \parallel B_1B_2 \parallel C_1C_2$$.

а)

Рассмотрим четырёхугольник $$A_1B_1B_2A_2$$. В нём

$$A_1A_2 \parallel B_1B_2,$$

а стороны $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$ лежат в параллельных плоскостях и соединяют соответствующие точки на параллельных прямых, поэтому этот четырёхугольник является параллелограммом.

Аналогично параллелограммами являются четырёхугольники $$B_1C_1C_2B_2$$ и $$A_1C_1C_2A_2$$.

б)

Из свойства параллелограмма получаем:

$$A_1C_1 = A_2C_2,$$

$$A_1B_1 = A_2B_2,$$

$$B_1C_1 = B_2C_2.$$

Следовательно, в треугольниках $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ попарно равны все три стороны:

$$A_1B_1 = A_2B_2,\quad B_1C_1 = B_2C_2,\quad A_1C_1 = A_2C_2.$$

Значит, $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$ по трём сторонам.

Ответ: а) все три четырёхугольника — параллелограммы; б) $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.