Упр.645 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

По данным рисунка 132 найдите координаты векторов $$\vec{AC}$$, $$\vec{CB}$$, $$\vec{AB}$$, $$\vec{MN}$$, $$\vec{NP}$$, $$\vec{BM}$$, $$\vec{OM}$$, $$\vec{OP}$$, если $$OA=4$$, $$OB=9$$, $$OC=2$$, а $$M$$, $$N$$ и $$P$$ — середины отрезков $$AC$$, $$OC$$ и $$CB$$.

Подробный ответ

Так как координаты точек на рисунке: $$A(4;0;0),\ B(0;9;0),\ C(0;0;2),\ O(0;0;0),$$ а точки $$M,\ N,\ P$$ — середины отрезков $$AC,\ OC,\ CB,$$ то найдём их координаты.

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов:

$$M\left(\frac{4+0}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(2;0;1),$$
$$N\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(0;0;1),$$
$$P\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+9}{2};\frac{2+0}{2}\right)=\left(0;\frac{9}{2};1\right).$$

Теперь найдём координаты векторов как разность координат конца и начала:

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(0-4;\,0-0;\,2-0)=(-4;0;2),$$
$$\overrightarrow{CB}=B-C=(0-0;\,9-0;\,0-2)=(0;9;-2),$$
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-4;\,9-0;\,0-0)=(-4;9;0),$$
$$\overrightarrow{MN}=N-M=(0-2;\,0-0;\,1-1)=(-2;0;0),$$
$$\overrightarrow{NP}=P-N=\left(0-0;\,\frac{9}{2}-0;\,1-1\right)=\left(0;\frac{9}{2};0\right),$$
$$\overrightarrow{BM}=M-B=(2-0;\,0-9;\,1-0)=(2;-9;1),$$
$$\overrightarrow{OM}=M-O=(2-0;\,0-0;\,1-0)=(2;0;1),$$
$$\overrightarrow{OP}=P-O=\left(0-0;\,\frac{9}{2}-0;\,1-0\right)=\left(0;\frac{9}{2};1\right).$$

Ответ: $$\overrightarrow{AC}=(-4;0;2),\ \overrightarrow{CB}=(0;9;-2),\ \overrightarrow{AB}=(-4;9;0),\ \overrightarrow{MN}=(-2;0;0),\ \overrightarrow{NP}=\left(0;\frac{9}{2};0\right),\ \overrightarrow{BM}=(2;-9;1),\ \overrightarrow{OM}=(2;0;1),\ \overrightarrow{OP}=\left(0;\frac{9}{2};1\right).$$