Упр.643 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Подробный ответ

Пусть $$\vec a=\{x_a;y_a;z_a\}$$ и $$\vec b=\{x_b;y_b;z_b\}.$$ Докажем сначала утверждение для суммы векторов.

Перенесём вектор $$\vec a$$ параллельным переносом так, чтобы его начало оказалось в начале координат. Тогда его конец попадёт в точку $$O_a(x_a;y_a;z_a).$$

Теперь к этой точке приложим вектор $$\vec b$$. По правилу сложения векторов конец суммы $$\vec a+\vec b$$ окажется в точке

$$O_{a+b}(x_a+x_b;\,y_a+y_b;\,z_a+z_b).$$

Следовательно, координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат:

$$\vec a+\vec b=\{x_a+x_b;\,y_a+y_b;\,z_a+z_b\}.$$

Теперь рассмотрим разность. Так как

$$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b),$$

а координаты противоположного вектора меняют знак, то

$$-\vec b=\{-x_b;\,-y_b;\,-z_b\}.$$

Тогда

$$\vec a-\vec b=\{x_a-x_b;\,y_a-y_b;\,z_a-z_b\}.$$

Значит, каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.