Упр.64 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$, а другую — в точках $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$. Докажите, что треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны.

Подробный ответ

Так как прямые $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$ пересекаются в одной точке $$O$$ и не лежат в одной плоскости, через прямые $$A_1A_2$$ и $$C_1C_2$$ проходит плоскость $$\gamma$$. Она пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$A_1C_1$$ и $$A_2C_2$$, поэтому

$$A_1C_1 \parallel A_2C_2.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle OA_1C_1$$ и $$\triangle OA_2C_2$$. У них

$$\angle A_1OC_1=\angle A_2OC_2$$

как вертикальные, а

$$\angle OC_1A_1=\angle OC_2A_2$$

как накрест лежащие при параллельных прямых $$A_1C_1$$ и $$A_2C_2$$ и секущей $$C_1C_2$$.

Следовательно, $$\triangle OA_1C_1 \sim \triangle OA_2C_2$$, откуда

$$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OC_1}{OC_2}. \qquad (1)$$

Аналогично, из подобия треугольников $$\triangle OA_1B_1$$ и $$\triangle OA_2B_2$$ получаем

$$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{OA_1}{OA_2}=\frac{OB_1}{OB_2}. \qquad (2)$$

И из подобия треугольников $$\triangle OB_1C_1$$ и $$\triangle OB_2C_2$$ имеем

$$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{OB_1}{OB_2}=\frac{OC_1}{OC_2}. \qquad (3)$$