Упр.635 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Треугольники $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ расположены так, что точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ являются серединами отрезков $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$, $$C_1C_2$$ соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ лежат на одной прямой.

Пусть $$M,\ M_1,\ M_2$$ — точки пересечения медиан треугольников $$ABC,$$ $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ соответственно.

Возьмём произвольную точку $$O$$ и рассмотрим радиус-векторы точек. Для центра тяжести треугольника известно, что

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

$$\overrightarrow{OM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right),$$

$$\overrightarrow{OM_2}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Так как точки $$A,\ B,\ C$$ — середины отрезков $$A_1A_2,\ B_1B_2,\ C_1C_2,$$ то

$$\overrightarrow{OA}=\frac12\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\right),\quad \overrightarrow{OB}=\frac12\left(\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}\right),\quad \overrightarrow{OC}=\frac12\left(\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Сложим векторы $$\overrightarrow{OM_1}$$ и $$\overrightarrow{OM_2}:$$

$$\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Подставляя выражения для середины, получаем

$$\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac23\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) =2\overrightarrow{OM}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}\right).$$

Это означает, что точка $$M$$ лежит на прямой, проходящей через точки $$M_1$$ и $$M_2$$, то есть точки пересечения медиан треугольников $$ABC,$$ $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ коллинеарны.

Ответ

Точки пересечения медиан треугольников лежат на одной прямой.