Упр.635 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Треугольники ABC, A1B1C1 и A2B2C2 расположены так, что точки А, В, C являются серединами отрезков A1A2, B1B2, C1C2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, A1B1C1 и A2B2C2 лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$M,$$ $$M_1$$ и $$M_2$$ точки пересечения медиан треугольников $$ABC,$$ $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ соответственно.

Возьмём произвольную точку $$O$$ и рассмотрим радиус-векторы всех точек относительно неё. Для центра тяжести треугольника известно, что

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

$$\overrightarrow{OM_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right),$$

$$\overrightarrow{OM_2}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Так как точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ являются серединами отрезков $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2,$$ $$C_1C_2,$$ то

$$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\right),\qquad \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}\right),\qquad \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}\right).$$

Сложим векторы $$\overrightarrow{OM_1}$$ и $$\overrightarrow{OM_2}$$:

$$ \overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OB_2}+\overrightarrow{OC_2}\right). $$

Подставим выражения через середины:

$$ \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}=2\overrightarrow{OA},\qquad \overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OB_2}=2\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OC_2}=2\overrightarrow{OC}. $$

Тогда

$$ \overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2} =\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right). $$

Но точка $$M$$ — центр тяжести треугольника $$ABC$$, значит

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right). $$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=2\overrightarrow{OM}. $$

Отсюда

$$ \overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{MM_2} =\left(\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM}\right) =\overrightarrow{0}. $$

Значит, векторы $$\overrightarrow{MM_1}$$ и $$\overrightarrow{MM_2}$$ противоположны, то есть коллинеарны. Следовательно, точки $$M,$$ $$M_1$$ и $$M_2$$ лежат на одной прямой.