Упр.634 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точки M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN || AC, и найдите отношение длин этих отрезков.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина ребра $$BD$$. Тогда, так как $$M$$ и $$N$$ — точки пересечения медиан граней $$ADB$$ и $$BDC$$, имеем:

$$M \in AE,\qquad N \in CE.$$

Для медианы треугольника точка пересечения делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины, значит

$$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ME},\qquad \overrightarrow{EC}=3\overrightarrow{EN}.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC} =3\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{EN} =3\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EN}\right) =3\overrightarrow{MN}. $$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{MN}$$ коллинеарны, значит, $$MN \parallel AC$$.

Кроме того, из равенства $$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{MN}$$ получаем

$$\frac{MN}{AC}=\frac{|\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{3}.$$