Упр.634 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ являются соответственно точками пересечения медиан граней $$ADB$$ и $$BDC$$. Докажите, что $$MN \parallel AC$$, и найдите отношение длин этих отрезков.
Пусть $$E$$ — середина ребра $$BD$$. Тогда, так как $$M$$ и $$N$$ — точки пересечения медиан граней $$ADB$$ и $$BDC$$, имеем: $$M \in AE$$ и $$N \in CE$$.
Для медианы треугольника верно, что она делится точкой пересечения медиан в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому
$$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ME}, \qquad \overrightarrow{EC}=3\overrightarrow{EN}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=3\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{EN}=3\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EN}\right)=3\overrightarrow{MN}.$$
Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{MN}$$ коллинеарны, значит, $$MN \parallel AC$$.
Кроме того, из равенства $$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{MN}$$ получаем
$$\frac{MN}{AC}=\frac{|\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{3}.$$
Ответ: $$MN \parallel AC,$$ $$\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{1}{3}.$$
