Упр.633 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре ABCD точка M — середина ребра BC. Выразите через векторы $$b=AB$$, $$c=AC$$ и $$d=AD$$ следующие векторы: $$BC$$, $$CD$$, $$DB$$ и $$DM$$.
Обозначим $$\overrightarrow{AB}=\mathbf b,\quad \overrightarrow{AC}=\mathbf c,\quad \overrightarrow{AD}=\mathbf d.$$
Тогда:
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\mathbf c-\mathbf b,$$
$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\mathbf d-\mathbf c,$$
$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf d.$$
Так как $$M$$ — середина ребра $$BC$$, то вектор от точки $$D$$ к середине отрезка $$BC$$ равен полусумме векторов $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$:
$$\overrightarrow{DM}=\frac12\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$
Найдём $$\overrightarrow{DC}$$:
$$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=\mathbf c-\mathbf d.$$
Тогда
$$\overrightarrow{DM}=\frac12\bigl((\mathbf b-\mathbf d)+(\mathbf c-\mathbf d)\bigr)=\frac12(\mathbf b+\mathbf c-2\mathbf d).$$
Ответ: $$\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b,\quad \overrightarrow{CD}=\mathbf d-\mathbf c,\quad \overrightarrow{DB}=\mathbf b-\mathbf d,\quad \overrightarrow{DM}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c-2\mathbf d).$$
