Упр.633 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точка M — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = AB, с = AC и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.

Обозначим $$\overrightarrow{AB}=\vec b,\quad \overrightarrow{AC}=\vec c,\quad \overrightarrow{AD}=\vec d.$$ Тогда

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec b.$$

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec d-\vec c.$$

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec d.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$BC$$, то

$$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

При этом

$$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=\vec c-\vec d.$$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{DM} =\frac{1}{2}\bigl((\vec b-\vec d)+(\vec c-\vec d)\bigr) =\frac{1}{2}(\vec b+\vec c-2\vec d) =\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c-\vec d. $$

Ответ

$$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=\vec d-\vec c,\quad \overrightarrow{DB}=\vec b-\vec d,\quad \overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c-\vec d.$$