Упр.632 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ совпадают, то прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны некоторой плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — произвольная точка пространства, а

$$\overrightarrow{AA_1}=\vec x,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\vec y,\qquad \overrightarrow{CC_1}=\vec z.$$

Обозначим через $$M$$ общую точку пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда для центроида имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

а также

$$\overrightarrow{A_1M}=\frac13\left(-\vec x+\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{A_1C}\right),$$

$$\overrightarrow{B_1M}=\frac13\left(-\vec y+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{B_1A}\right),$$

$$\overrightarrow{C_1M}=\frac13\left(-\vec z+\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{C_1B}\right).$$

Сложим эти векторы:

$$\overrightarrow{A_1M}+\overrightarrow{B_1M}+\overrightarrow{C_1M} =\frac13\Bigl(-\vec x-\vec y-\vec z+\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{A_1C}+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{C_1B}\Bigr).$$

Так как $$M$$ — точка пересечения медиан и для треугольника $$A_1B_1C_1$$, то

$$\overrightarrow{A_1M}+\overrightarrow{B_1M}+\overrightarrow{C_1M}=\vec 0.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{A_1B}=-\vec x+\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{A_1C}=-\vec x+\overrightarrow{AC},$$

$$\overrightarrow{B_1C}=-\vec y+\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{B_1A}=-\vec y+\overrightarrow{BA},$$

$$\overrightarrow{C_1A}=-\vec z+\overrightarrow{CA},\qquad \overrightarrow{C_1B}=-\vec z+\overrightarrow{CB}.$$

Подставляя, получаем

$$\vec 0=\frac13\Bigl(-3\vec x-3\vec y-3\vec z+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr).$$

Но

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec 0,$$

значит

$$\vec x+\vec y+\vec z=\vec 0.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{CC_1}$$ линейно зависимы, то есть компланарны. А значит, прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны одной и той же плоскости.

Ответ: прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны некоторой плоскости.