Упр.631 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали грани $$DCC_1D_1$$ пересекаются в точке $$M$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{AM}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$.

Так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ некомпланарны, удобно выразить искомый вектор через них.

Точка $$M$$ — точка пересечения диагоналей грани $$DCC_1D_1$$, значит она является центром этой грани. Поэтому можно представить переход от точки $$A$$ к точке $$M$$ как сумму трёх векторов:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}.$$

Так как $$M$$ — середина диагонали грани $$DCC_1D_1$$, то

$$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$

В параллелепипеде

$$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1}, \qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}.$$