Упр.630 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$K$$ — середина ребра $$CC_1$$. Разложите вектор:
   а) $$\overrightarrow{AK}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$, $$\overrightarrow{AA_1}$$;
   б) $$\overrightarrow{DA_1}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB_1}$$, $$\overrightarrow{BC_1}$$ и $$\overrightarrow{CD_1}$$.

Так как $$K$$ — середина ребра $$CC_1$$, то

$$\overrightarrow{CK}=\frac12\overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}.$$

В параллелепипеде $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$, поэтому

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

Для второго пункта запишем

$$\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{C_1B}+\overrightarrow{BA_1}.$$

Так как в параллелепипеде $$\overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{AB_1}$$, $$\overrightarrow{C_1B}=-\overrightarrow{BC_1}$$, $$\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{CD_1}$$, получаем

$$\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}.$$