Упр.63 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекают сторону $$AB$$ угла $$BAC$$ соответственно в точках $$A_1$$ и $$A_2$$, а сторону $$AC$$ этого угла — соответственно в точках $$B_1$$ и $$B_2$$. Найдите:
- а) $$AA_2$$ и $$AB_2$$, если $$A_1A_2=2AA_1=12\text{ см}$$, $$AB_1=5\text{ см}$$;
- б) $$A_2B_2$$ и $$AA_2$$, если $$A_1B_1=18\text{ см}$$, $$AA_1=24\text{ см}$$, $$AA_2\perp A_1A_2$$.
Рассмотрим плоскость $$ABC$$. Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то их линии пересечения с плоскостью $$ABC$$ параллельны:
$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$
Тогда треугольники $$\triangle AA_1B_1$$ и $$\triangle AA_2B_2$$ подобны, поэтому
$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{AB_1}{AB_2}.$$
а) Из условия $$A_1A_2=2\cdot AA_1$$ и $$AA_1=12$$ см, значит
$$AA_1=\frac12\cdot A_1A_2=\frac12\cdot 12=6\text{ см}.$$
Тогда
$$AA_2=AA_1+A_1A_2=6+12=18\text{ см}.$$
Из подобия треугольников:
$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{AB_1}{AB_2}$$
$$\frac{6}{18}=\frac{5}{AB_2},$$
откуда
$$AB_2=15\text{ см}.$$
б) По условию $$AA_2=\frac32\cdot A_1A_2$$, а $$A_1A_2=AA_2-AA_1$$. Тогда
$$AA_2=\frac32(AA_2-24).$$
Решим уравнение:
$$2AA_2=3AA_2-72,$$
$$AA_2=72\text{ см}.$$
Теперь найдём $$A_2B_2$$ из подобия:
$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$
$$\frac{24}{72}=\frac{18}{A_2B_2},$$
откуда
$$A_2B_2=54\text{ см}.$$
Ответ
а) $$AA_2=18\text{ см},\ AB_2=15\text{ см}.$$
б) $$AA_2=72\text{ см},\ A_2B_2=54\text{ см}.$$
