Упр.629 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha трех некомпланарных векторах p = AB, q = AD, r = AA1 построен параллелепипед ABCDAlBlCiD1. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

Так как векторы $$\vec p=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec q=\overrightarrow{AD}$$ и $$\vec r=\overrightarrow{AA_1}$$ некомпланарны, то любой вектор параллелепипеда можно разложить по ним, используя правило сложения векторов по ломаной.

Найдём нужные диагонали:

$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\vec p+\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{CA_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC_1}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec p-\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec p+\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\vec p-\vec q+\vec r.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AC_1}=\vec p+\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{CA_1}=-\vec p-\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{BD_1}=-\vec p+\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{DB_1}=\vec p-\vec q+\vec r.$$