Упр.629 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На трех некомпланарных векторах $$\vec p=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec q=\overrightarrow{AD}$$, $$\vec r=\overrightarrow{AA_1}$$ построен параллелепипед $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$. Разложите по векторам $$\vec p$$, $$\vec q$$ и $$\vec r$$ векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

Так как векторы $$\vec p=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec q=\overrightarrow{AD}$$ и $$\vec r=\overrightarrow{AA_1}$$ некомпланарны, то любые диагонали параллелепипеда можно выразить через них, последовательно складывая соответствующие ребра.

По правилу параллелепипеда получаем:

$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\vec p+\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{CA_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC_1}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec p-\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_1}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=-\vec p+\vec q+\vec r,$$

$$\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\vec p-\vec q+\vec r.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AC_1}=\vec p+\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{CA_1}=-\vec p-\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{BD_1}=-\vec p+\vec q+\vec r,\quad \overrightarrow{DB_1}=\vec p-\vec q+\vec r.$$