Упр.628 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точка K — середина медианы BB1 грани BCD. Разложите вектор AK по векторам а = AB, b — AC, с — AD.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{AB},\quad \vec b=\overrightarrow{AC},\quad \vec c=\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$BB_1$$ — медиана грани $$BCD$$, то точка $$B_1$$ — середина отрезка $$CD$$. Поэтому

$$\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec b+\vec c\right).$$

Точка $$K$$ — середина медианы $$BB_1$$, значит, $$K$$ — середина отрезка $$BB_1$$. Тогда

$$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1}\right).$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{AB_1}$$:

$$ \overrightarrow{AK} =\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\left(\vec b+\vec c\right) =\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec c. $$