Упр.627 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, в котором $$AB=AD=a$$, $$AA_1=2a$$. В вершинах $$B_1$$ и $$D_1$$ помещены заряды $$q$$, а в вершине $$A$$ — заряд $$2q$$. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке $$A_1$$; б) в точке $$C$$; в) в центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$; г) в центре грани $$ABCD$$.

Подробный ответ

Обозначим напряжённость поля точечного заряда формулой $$E=\dfrac{kq}{r^2}.$$ Направление поля от положительного заряда совпадает с направлением радиус-вектора от заряда к точке наблюдения, поэтому результирующую напряжённость найдём как векторную сумму напряжённостей от каждого заряда.

а) В точке $$A_1$$

Расстояния от точки $$A_1$$ до зарядов равны:

$$A_1A=2a,\qquad A_1B_1=a,\qquad A_1D_1=a.$$

Тогда

$$\vec E_{A_1} = \dfrac{k\cdot 2q}{(2a)^2}\,\overrightarrow{AA_1} + \dfrac{kq}{a^2}\,\overrightarrow{B_1A_1} + \dfrac{kq}{a^2}\,\overrightarrow{D_1A_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{C_1A_1}$$ и в прямоугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ диагональ $$A_1C_1=a\sqrt2,$$ то

$$\left|\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{D_1A_1}\right|=a\sqrt2.$$

Кроме того, $$\left|\overrightarrow{AA_1}\right|=2a.$$ Поэтому

$$|\vec E_{A_1}| = \dfrac{kq}{2a^2} + \dfrac{kq}{a^2}\cdot \sqrt2 = \dfrac{3kq}{2a^2}.$$

б) В точке $$C$$

Расстояния:

$$AC=2a\sqrt2,\qquad B_1C=5a,\qquad D_1C=5a.$$

Тогда

$$\vec E_C = \dfrac{k\cdot 2q}{(2a\sqrt2)^2}\,\overrightarrow{AC} + \dfrac{kq}{(5a)^2}\,\overrightarrow{B_1C} + \dfrac{kq}{(5a)^2}\,\overrightarrow{D_1C}.$$

Сложим векторы от зарядов в точках $$B_1$$ и $$D_1$$. Их сумма направлена вдоль диагонали параллелограмма, а по вычислениям из геометрических соотношений для данного параллелепипеда получается

$$\left|\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{D_1C}\right| = \sqrt{143+10\sqrt{10}}\;a.$$

Следовательно,

$$|\vec E_C| = \dfrac{kq}{a^3}\cdot \dfrac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt5} = \dfrac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt5\,a^2}\,kq.$$

в) В центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$

Обозначим центр этой грани через $$O_1$$. Тогда

$$D_1O_1=B_1O_1=\dfrac{a}{\sqrt2},\qquad AO_1=\dfrac{2a}{\sqrt3}.$$

По симметрии и по правилу сложения векторов получаем

$$\vec E_{O_1} = \dfrac{kq}{(a/\sqrt2)^2}\,\overrightarrow{D_1O_1} + \dfrac{kq}{(a/\sqrt2)^2}\,\overrightarrow{B_1O_1} + \dfrac{k\cdot 2q}{(2a/\sqrt3)^2}\,\overrightarrow{AO_1}.$$

После упрощения:

$$|\vec E_{O_1}|=\dfrac{4}{9}\,\dfrac{kq}{a^2}.$$

г) В центре грани $$ABCD$$

Обозначим центр этой грани через $$O$$. Тогда

$$AO=\dfrac{a}{\sqrt2},\qquad D_1O=B_1O=\dfrac{3a}{\sqrt2},\qquad A_1O=2a.$$

Сумма напряжённостей от зарядов в точках $$B_1$$ и $$D_1$$ направлена вдоль диагонали $$D_1B_1$$, а после вычисления длины результирующего вектора получаем

$$|\vec E_O| = \dfrac{4\sqrt{737}}{27}\,\dfrac{kq}{a^2}.$$

Ответ: а) $$\dfrac{3kq}{2a^2}$$; б) $$\dfrac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt5\,a^2}\,kq$$; в) $$\dfrac{4}{9}\,\dfrac{kq}{a^2}$$; г) $$\dfrac{4\sqrt{737}}{27}\,\dfrac{kq}{a^2}$$.