Упр.625 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что векторы $$\mathbf{p}$$, $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$ компланарны, если:
а) один из данных векторов нулевой;
б) два из данных векторов коллинеарны.

Пусть даны векторы $$\vec p,\ \vec a,\ \vec b.$$ Докажем, что они компланарны в каждом из указанных случаев.

1. Если один из векторов нулевой, например $$\vec p=\vec 0,$$ то его можно считать лежащим в любой плоскости. Тогда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ можно расположить в одной плоскости вместе с $$\vec p,$$ значит, все три вектора компланарны.

2. Если два из векторов коллинеарны, например $$\vec a$$ и $$\vec b,$$ то они лежат на одной прямой. Перенесём все три вектора так, чтобы их начала совпали. Тогда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ будут лежать на одной прямой, а вектор $$\vec p$$ можно провести из той же точки в той же плоскости. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости, то есть компланарны.

Таким образом, в обоих случаях векторы $$\vec p,\ \vec a,\ \vec b$$ компланарны.