Упр.624 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Три точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат на одной прямой, а точка $$O$$ не лежит на этой прямой. Выразите вектор $$\overrightarrow{OP}$$ через векторы $$\overrightarrow{OM}$$ и $$\overrightarrow{ON}$$, если:
а) $$\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{MN}$$;
б) $$\overrightarrow{MP}=-\overrightarrow{PN}$$;
в) $$\overrightarrow{MP}=k\cdot\overrightarrow{MN}$$, где $$k$$ — данное число.

Подробный ответ

Обозначим через $$\overrightarrow{MN}$$ вектор, направленный от $$M$$ к $$N$$.

Ход решения

а) Из равенства $$\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{MN}$$ получаем

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN},$$

откуда

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{MN}$$

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+2\bigl(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\bigr)=3\overrightarrow{ON}-2\overrightarrow{OM}.$$

б) Из условия $$\overrightarrow{MP}=-\frac12\overrightarrow{PN}$$ следует, что

$$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{MP}.$$

Так как точки $$M, N, P$$ лежат на одной прямой, то векторы $$\overrightarrow{MP}$$ и $$\overrightarrow{PN}$$ направлены противоположно, а их длины связаны соотношением $$PN=2\,MP$$. Значит, точка $$M$$ — середина отрезка $$PN$$, и потому

$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{ON}}{2}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}.$$

в) Пусть $$\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$$. Тогда

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}+k\overrightarrow{MN}.$$

Подставим выражение для $$\overrightarrow{MN}$$:

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+k\bigl(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\bigr)$$

$$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{ON}+(1-k)\overrightarrow{OM}.$$

Ответ

а) $$\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{ON}-2\overrightarrow{OM}$$; б) $$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$$; в) $$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{ON}+(1-k)\overrightarrow{OM}$$.