Упр.624 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три точки M, N и P лежат на одной прямой, а точка 0 не лежит на этой прямой. Выразите вектор OP через векторы OM и ON, если: а) NP = 2MN; б) MP = -1PN; в) MP = k • MN, где k — данное число.

Обозначим через $$\overrightarrow{MN}$$ вектор, направленный от $$M$$ к $$N$$. Тогда

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}, \qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.$$

а) Если $$\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{MN},$$ то

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{ON}+2\overrightarrow{MN}.$$

Подставим $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}:$$

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+2(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM})=3\overrightarrow{ON}-2\overrightarrow{OM}.$$

б) Из условия $$\overrightarrow{MP}=-\frac12\overrightarrow{PN}$$ следует, что

$$\overrightarrow{MP}=\frac12\overrightarrow{NP}.$$

Так как точки $$M, N, P$$ лежат на одной прямой, то $$\overrightarrow{PM}=-\overrightarrow{MN}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}.$$

Но удобнее выразить $$\overrightarrow{OP}$$ через $$\overrightarrow{OM}$$ и $$\overrightarrow{ON}$$ из соотношения

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PN}.$$

Поскольку $$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{MP},$$ получаем

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{MP}.$$

А так как $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP},$$ то

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{MP}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON},$$

и тогда

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}.$$

в) Если $$\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN},$$ то

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OM}+k\overrightarrow{MN}.$$

Подставим $$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}:$$

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+k(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM})=k\overrightarrow{ON}+(1-k)\overrightarrow{OM}.$$

Ответ

а) $$\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{ON}-2\overrightarrow{OM};$$ б) $$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON};$$ в) $$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{ON}+(1-k)\overrightarrow{OM}.$$