Упр.623 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что для любой точки $$M$$ пространства справедливо неравенство $$MO < i(MA + MB + MC + MD)$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Значит,

$$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{DO}, \qquad \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CO}.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{MO}$$:

$$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DO}.$$

Сложим эти равенства:

$$4\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD},$$

откуда

$$\overrightarrow{MO}=\frac14\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right).$$

Теперь применим неравенство треугольника для векторов:

$$MO=\left|\overrightarrow{MO}\right| =\frac14\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right| <\frac14\left(MA+MB+MC+MD\right).$$

Следовательно,

$$MO<\frac14\left(MA+MB+MC+MD\right).$$

Ответ: $$MO<\frac14\left(MA+MB+MC+MD\right).$$