Упр.623 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки M пространства справедливо неравенство MO < i (MA + MB + MC + MD).

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $$O$$ — середина диагоналей $$AC$$ и $$BD$$, значит

$$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CO}, \qquad \overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{DO}.$$

Запишем вектор $$\overrightarrow{MO}$$ через векторы, идущие из точки $$M$$ к вершинам параллелограмма:

$$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DO}.$$

Сложим эти равенства:

$$4\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{MO}=\frac14\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right).$$

Теперь применим неравенство треугольника к сумме векторов:

$$ MO=\left|\overrightarrow{MO}\right| =\frac14\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right| \le \frac14\left(MA+MB+MC+MD\right). $$

При этом равенство невозможно, так как векторы $$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}$$ не могут быть попарно сонаправлены для произвольной точки $$M$$. Значит, имеет место строгое неравенство:

$$MO<\frac14\left(MA+MB+MC+MD\right).$$