Упр.622 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника $$ABCD$$, пересекаются в точке $$M$$. Точка $$O$$ — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$E,F,K,N$$ середины сторон $$AB,BC,CD,DA$$ соответственно, а через $$M$$ — точку пересечения отрезков $$EK$$ и $$FN$$.

Докажем, что

$$\overrightarrow{OM}=\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right).$$

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{OE}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).$$

Аналогично, поскольку $$F, K, N$$ — середины соответствующих сторон, имеем

$$\overrightarrow{OF}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

$$\overrightarrow{OK}=\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right),$$

$$\overrightarrow{ON}=\frac12\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right).$$

Рассмотрим четырёхугольник $$EFKN$$. В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, поэтому $$EF\parallel AC$$ и $$EF=\frac12 AC$$. В треугольнике $$ADC$$ отрезок $$NK$$ тоже средняя линия, значит $$NK\parallel AC$$ и $$NK=\frac12 AC$$. Следовательно, $$EF\parallel NK$$ и $$EF=NK$$, то есть $$EFKN$$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому точка $$M$$ — середина диагоналей $$EK$$ и $$FN$$. Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OK}\right),$$

а также

$$\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}\right).$$

Сложим эти равенства:

$$4\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{ON}.$$

Подставим найденные выражения:

$$4\overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right).$$

После приведения подобных слагаемых получаем

$$4\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OM}=\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right).$$