Упр.622 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка O — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство OM = I (QA + OB + OC + OD).

Подробный ответ

Обозначим через $$E, F, K, N$$ середины сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно. Тогда точка $$M$$ — точка пересечения отрезков $$EK$$ и $$FN$$.

Докажем сначала, что

$$\overrightarrow{OE}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).$$

Действительно,

$$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}.$$

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то $$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AE}$$, значит

$$2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},$$

откуда

$$\overrightarrow{OE}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).$$

Аналогично получаем:

$$\overrightarrow{OF}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right),$$

$$\overrightarrow{OK}=\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right),$$

$$\overrightarrow{ON}=\frac12\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right).$$

Теперь рассмотрим точку $$M$$. Так как $$EF$$ и $$NK$$ — средние линии треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$, то

$$EF=\frac12 AC,\qquad NK=\frac12 AC,$$

следовательно, $$EFKN$$ — параллелограмм. Поэтому его диагонали пересекаются и делятся пополам, а значит, для точки пересечения $$M$$ выполняется

$$\overrightarrow{OM}=\frac14\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{ON}\right).$$

Подставим найденные выражения:

$$ \overrightarrow{OM} =\frac14\left( \frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) +\frac12(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) +\frac12(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}) +\frac12(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}) \right). $$

После приведения подобных слагаемых получаем

$$ \overrightarrow{OM} =\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right). $$

Что и требовалось доказать.