Упр.621 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки A1, B1 и C1 — середины сторон ВС, AC и AB треугольника ABC, точка O — произвольная точка пространства. Докажите, что OA1 + OB1 + OC1 — OA + OB + ОС.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{OA}=\mathbf{a},\ \vec{OB}=\mathbf{b},\ \vec{OC}=\mathbf{c}.$$

Так как $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$AC$$ и $$AB,$$ то их радиус-векторы выражаются через радиус-векторы вершин треугольника:

$$ \vec{OA_1}=\frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2},\qquad \vec{OB_1}=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2},\qquad \vec{OC_1}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}. $$

Сложим эти равенства:

$$ \vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}. $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ \vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1} = \frac{2\vec{OA}+2\vec{OB}+2\vec{OC}}{2} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}. $$

Что и требовалось доказать.