Упр.621 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\), точка \(O\) — произвольная точка пространства. Докажите, что $$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Обозначим через $$\vec{OA}=\mathbf a,\quad \vec{OB}=\mathbf b,\quad \vec{OC}=\mathbf c.$$

Так как $$A_1,$$ $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$AC$$ и $$AB,$$ то их радиус-векторы равны средним арифметическим радиус-векторов концов соответствующих сторон:

$$\vec{OA_1}=\frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2},\qquad \vec{OB_1}=\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2},\qquad \vec{OC_1}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}.$$

Сложим эти равенства:

$$\vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1} =\frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2}+\frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}+\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}.$$

$$\vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1} =\frac{2\vec{OA}+2\vec{OB}+2\vec{OC}}{2} =\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.$$

Что и требовалось доказать.