Упр.620 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Числа $$k$$ и $$l$$ не равны друг другу. Докажите, что если векторы $$a+kb$$ и $$a+lb$$ неколлинеарны, то: а) векторы $$a$$ и $$b$$ неколлинеарны; б) векторы $$a+k_1b$$ и $$a+l_1b$$ неколлинеарны при любых неравных числах $$k_1$$ и $$l_1$$.

Докажем утверждение по пунктам.

а)

Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что $$\vec a=n\vec b$$.

Следовательно,

$$\vec a+k\vec b=n\vec b+k\vec b=(n+k)\vec b,$$
$$\vec a+l\vec b=n\vec b+l\vec b=(n+l)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ коллинеарны. Это противоречит условию задачи. Следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б)

Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что

$$\vec a+k_1\vec b=n(\vec a+l_1\vec b).$$

Перенесём слагаемые:

$$(1-n)\vec a=(nl_1-k_1)\vec b.$$

Если $$1-n\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{nl_1-k_1}{1-n}\vec b,$$

то есть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Но тогда по пункту а) векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ были бы коллинеарны, что противоречит условию.

Если же $$1-n=0$$, то из равенства выше получаем $$nl_1-k_1=0$$, то есть $$l_1=k_1$$, что невозможно, так как по условию $$k_1\neq l_1$$.

Значит, предположение неверно, и векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ не коллинеарны при любых неравных $$k_1$$ и $$l_1$$.

Ответ

Если векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ не коллинеарны, то $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, а также векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ не коллинеарны при любых $$k_1\neq l_1$$.